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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Sous cette hypoth` ese, l’erreur e n se r´ eduit `
a
e
n =
1
p!
h
p+1
n
1
p + 1
f
[p] (t n , y n ) −
∂
p Φ
∂h p (t n , y n , 0)
+ o(h
p+1
n ).
Remarque – De ce qui pr´ ec` ede on d´ eduit les ´ equivalences
M´ ethode consistante ⇔ Φ(t, y, 0) = f (t, y) ⇔ M´ ethode d’ordre ≥ 1.
L’utilisation de la formule de Taylor avec reste de Lagrange implique l’existence de
points τ n ∈ ]t n , t n+1 [ et η n ∈ ]0, h max [ tels que
e n = h
p+1
n
1
(p + 1)!
f
[p] (τ n , z(τ n )) −
1
p!
∂
p Φ
∂h p (t n , z(t n ), η n )
.
Ceci permet (au moins th´ eoriquement) de trouver une constante C dans la majoration de l’erreur de consistance : on peut prendre
C =
1
(p + 1)!
f
[p] (t, z(t)) ∞ +
1
p!
∂
p Φ
∂h p (t, z(t), h) ∞
o` u les normes ∞ sont ´ etendues aux (t, h) ∈ [t 0 , t 0 + T ] × [0, h max ].
Majoration de l’erreur globale – Compte tenu de la majoration suppos´ ee
satisfaite pour e n , on a
0≤n |e n | ≤
Ch
p+1
n
≤ C
h n h
p
max ≤ CT h
p
max .
Si la m´ ethode est stable avec constante de stabilit´ e S, on obtient donc la majoration
max
0≤n≤N
|y n − z(t n )| ≤ S(|y 0 − z(t 0 )| + CT h
p
max ).
L’erreur initiale |y 0 − z(t 0 )| est g´ en´ eralement n´ egligeable. L’erreur globale donn´ ee
par une m´ ethode stable d’ordre p est donc de l’ordre de grandeur de h
p
max avec une
constante de proportionnalit´ e SCT (on retiendra que l’ordre est ´ egal ` a l’exposant
de h max dans la majoration de l’erreur globale, alors que l’erreur de consistance,
elle, est en h
p+1
n ).
Si la constante SCT n’est pas trop grande (disons ≤ 10
2 ), une m´ ethode d’ordre 3
avec pas maximum h max = 10
−2 permet d’atteindre une pr´ ecision globale de l’ordre
de 10
−4 .