VIII – M´ ethodes num´ eriques `
a un pas
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¾ººº ÁÒÒÐÙÙÒÒÒ Ð³ÓÖÖÖÖ ÐÐ Ñ ØØÓÓÓ ×ÙÖ Ð³³ÖÖÖÙÖ ÐÓÓÓÐÐ
Nous allons voir ici que l’ordre d’une m´ ethode num´ erique a une influence d´ eterminante sur la pr´ ecision que cette m´ ethode permet d’atteindre. La d´ efinition de l’ordre
que nous allons donne prend l’erreur de consistance comme point de d´ epart (le
lecteur prendra garde au d´ ecalage d’une unit´ e entre l’ordre et l’exposant de h n dans
l’erreur de consistance ! )
D´ efinition – On dit qu’une m´ ethode ` a 1 pas est d’ordre ≥ p si pour toute solution
exacte z d’une ´ equation diff´ erentielle
(E)
y
= f (t, y) o` u f est de classe C
p ,
il existe une constante C ≥ 0 telle que l’erreur de consistance relative `
a z v´ erifie
|e n | ≤ Ch
p+1
n , ∀n, 0 ≤ n < N.
Elle est dite d’ordre p (exactement) si elle est d’ordre ≥ p mais pas d’ordre ≥ p +1.
Rappelons que l’erreur de consistance est donn´ ee par
e n = z(t n+1 ) − y n − h n Φ(t n , y n , h n ) o` u y n = z(t n ).
Supposons que Φ soit de classe C
p . La formule de Taylor donne alors
Φ(t n , y n , h n ) =
p
l=0
1
l!
h
l
n
∂
l Φ
∂h l (t n , y n , 0) + o(h
p
n ).
Si f est de classe C
p , la solution z est de classe C
p+1 donc
z(t n+1 ) − y n = z(t n + h) − z(t n )
=
p+1
k=1
1
k!
h
k
n z
(k) (t n ) + o(h
n+1
n
)
=
p
l=0
1
(l + 1)!
h
l+1
n f
[l] (t n , y n ) + o(h
p+1
n ).
On en d´ eduit aussitˆ ot
e n =
p
l=0
1
l!
h
l+1
n
1
l + 1
f
[l] (t n , y n ) −
∂
l Φ
∂h l
t n , y n , 0)
+ o(h
p+1
n )
Cons´ equence – La m´ ethode est d’ordre ≥ p si et seulement si Φ est telle que
∂
l Φ
∂h l (t, y, 0) =
1
l + 1
f
[l] (t, y), 0 ≤ l ≤ p − 1.