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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Comme t n − t 0 ≤ T et t n − t i+1 ≤ T , le lemme de Gronwall implique
max
0≤n≤N
θ n ≤ e
ΛT
θ 0 +
0≤i≤N −1
|ε i |
Par d´ efinition de θ n , on a donc
max
0≤n≤N
| y n − y n | ≤ e
ΛT
| y 0 − y 0 | +
0≤n≤N
|ε n |
,
et le th´ eor` eme est d´ emontr´ e.
Remarque – Dans la pratique, l’hypoth` ese lipschitzienne faite sur Φ est tr` es
rarement satisfaite globalement pour y 1 , y 2 ∈ R et h ∈ R (ne serait-ce que parce que
le domaine de d´ efinition de Φ est peut-ˆ etre plus petit). Par contre cette hypoth` ese
est souvent satisfaite si on se restreint ` a des y 1 , y 2 ∈ J et |h| ≤ δ o` u J est un
intervalle ferm´ e born´ e assez petit. Dans ce cas, la constante de stabilit´ e S = e
ΛT
est valable pour des suites y n ,
y n ∈ J et pour h max ≤ δ.
Exemples – Supposons que la fonction f soit lipschitzienne de rapport k en y
et calculons Λ, S pour les diff´ erentes m´ ethodes d´ ej` a pr´ esent´ ees.
• Dans la m´ ethode d’Euler, Φ(t, y, h) = f (t, y). On peut prendre Λ = k, S = e
kT .
• Dans la m´ ethode du point milieu, on a
Φ(t, y, h) = f
t +
h
2
, y +
h
2
f (t, y)
.
On en d´ eduit
|Φ(t, y 1 , h) − Φ(t, y 2 , h)| ≤ k
y1 +
h
2
f (t, y 1 ) −
y 2 +
h
2
f (t, y 2 )
≤ k
|y 1 − y 2 | +
h
2
|f (t, y 1 ) − f (t, y 2 )|
≤ k
|y 1 − y 2 | +
h
2
k|y 1 − y 2 |
= k
1 +
1
2
hk
|y 1 − y 2 |.
On peut prendre ici Λ = k
1 +
1
2 h max k
, d’o` u
S = exp
kT
1 +
1
2
h max k
.
Si h max est petit (par rapport `
a 1/k
2 T ), cette constante est du mˆ eme ordre de
grandeur que dans la m´ ethode d’Euler.
Corollaire – Lorsque f est lipschitzienne en y, les m´ ethodes d’Euler et du point
milieu sont convergentes.
Le lecteur observera l’analogie des techniques utilis´ ees pour obtenir ce corollaire
avec celles utilis´ ees au chapitre V, § 3.1.
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Comme t n − t 0 ≤ T et t n − t i+1 ≤ T , le lemme de Gronwall implique
max
0≤n≤N
θ n ≤ e
ΛT
θ 0 +
0≤i≤N −1
|ε i |
Par d´ efinition de θ n , on a donc
max
0≤n≤N
| y n − y n | ≤ e
ΛT
| y 0 − y 0 | +
0≤n≤N
|ε n |
,
et le th´ eor` eme est d´ emontr´ e.
Remarque – Dans la pratique, l’hypoth` ese lipschitzienne faite sur Φ est tr` es
rarement satisfaite globalement pour y 1 , y 2 ∈ R et h ∈ R (ne serait-ce que parce que
le domaine de d´ efinition de Φ est peut-ˆ etre plus petit). Par contre cette hypoth` ese
est souvent satisfaite si on se restreint ` a des y 1 , y 2 ∈ J et |h| ≤ δ o` u J est un
intervalle ferm´ e born´ e assez petit. Dans ce cas, la constante de stabilit´ e S = e
ΛT
est valable pour des suites y n ,
y n ∈ J et pour h max ≤ δ.
Exemples – Supposons que la fonction f soit lipschitzienne de rapport k en y
et calculons Λ, S pour les diff´ erentes m´ ethodes d´ ej` a pr´ esent´ ees.
• Dans la m´ ethode d’Euler, Φ(t, y, h) = f (t, y). On peut prendre Λ = k, S = e
kT .
• Dans la m´ ethode du point milieu, on a
Φ(t, y, h) = f
t +
h
2
, y +
h
2
f (t, y)
.
On en d´ eduit
|Φ(t, y 1 , h) − Φ(t, y 2 , h)| ≤ k
y1 +
h
2
f (t, y 1 ) −
y 2 +
h
2
f (t, y 2 )
≤ k
|y 1 − y 2 | +
h
2
|f (t, y 1 ) − f (t, y 2 )|
≤ k
|y 1 − y 2 | +
h
2
k|y 1 − y 2 |
= k
1 +
1
2
hk
|y 1 − y 2 |.
On peut prendre ici Λ = k
1 +
1
2 h max k
, d’o` u
S = exp
kT
1 +
1
2
h max k
.
Si h max est petit (par rapport `
a 1/k
2 T ), cette constante est du mˆ eme ordre de
grandeur que dans la m´ ethode d’Euler.
Corollaire – Lorsque f est lipschitzienne en y, les m´ ethodes d’Euler et du point
milieu sont convergentes.
Le lecteur observera l’analogie des techniques utilis´ ees pour obtenir ce corollaire
avec celles utilis´ ees au chapitre V, § 3.1.