VIII – M´ ethodes num´ eriques `
a un pas
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Pour pouvoir majorer l’erreur globale d´ ecrite au § 2.1, il faut savoir estimer d’une
part la constante de stabilit´ e S, et d’autre part la somme
0≤n suivant permet d’´ evaluer S.
Th´ eor` eme – Pour que la m´ ethode soit stable, il suffit que la fonction Φ soit
lipschitzienne en y, c’est-` a-dire qu’il existe une constante Λ ≥ 0 telle que
∀t ∈ [t 0 , t 0 + T ], ∀(y 1 , y 2 ) ∈ R
2 , ∀h ∈ R on ait
|Φ(t, y 1 , h) − Φ(t, y 2 , h)| ≤ Λ|y 1 − y 2 |.
Dans ce cas, on peut prendre pour constante de stabilit´ e S = e
ΛT .
D´ emonstration. Consid´ erons deux suites (y n ), ( y n ) telles que
y n+1 = y n + h n Φ(t n , y n , h n ),
y n+1 =
y n + h n Φ(t n ,
y n , h n ) + ε n .
Par diff´ erence, on obtient
| y n+1 − y n+1 | ≤ | y n − y n | + h n Λ| y n − y n | + |ε n |.
En posant θ n = | y n − y n |, il vient
θ n+1 ≤ (1 + Λh n )θ n + |ε n |.
Lemme de Gronwall (cas discret) – Soient des suites h n , θ n ≥ 0 et ε n ∈ R
telles que θ n+1 ≤ (1 + Λh n )θ n + |ε n |. Alors
θ n ≤ e
Λ(tn−t0) θ 0 +
0≤i≤n−1
e
Λ(tn−ti+1)
|ε i |.
Le lemme se v´ erifie par r´ ecurrence sur n. Pour n = 0, l’in´ egalit´ e se r´ eduit `
a θ 0 ≤ θ 0 .
Supposons maintenant l’in´ egalit´ e vraie ` a l’ordre n. On observe que
1 + Λh n ≤ e
Λhn = e
Λ(tn+1−tn) .
Par hypoth` ese on a
θ n+1 ≤ e
Λ(tn+1−tn) θ n + |ε n |
≤ e
Λ(tn+1−t0) θ 0 +
0≤i≤n−1
e
Λ(tn+1−ti+1)
|ε i | + |ε n |.
L’in´ egalit´ e cherch´ ee s’ensuit ` a l’ordre n + 1.