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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
En effet
0≤n consistante par hypoth` ese.
¾º¾º ÓÒÒÒØØÓÒ Ò ××××ÖÖ Ø ×ÙÙÙÙ××ÒØØ ÓÒ×××ØÒÒÒ
Soit z une solution exacte de l’´ equation (E) et soient
e n = z(t n+1 ) − z(t n ) − h n Φ(t n , z(t n ), h n )
les erreurs de consistance correspondantes. D’apr` es le th´ eor` eme des accroissements
finis, il existe c n ∈ ]t n , t n+1 [ tel que
z(t n+1 ) − z(t n ) = h n z
(c n ) = h n f (c n , z(c n ))
d’o` u
e n = h n (f (c n , z(c n )) − Φ(t n , z(t n ), h n )) = h n (α n + β n )
avec
α n = f (c n , z(c n )) − Φ(c n , z(c n ), 0),
β n = Φ(c n , z(c n ), 0) − Φ(t n , z(t n ), h n ).
Comme la fonction (t, h) → Φ(t, z(t), h) est continue sur [t 0 , t 0 + T ] × [0, δ] qui est
compact, elle y est uniform´ ement continue. Par cons´ equent, pour tout ε > 0, il
existe η > 0 tel que h max ≤ η → |β n | ≤ ε. Pour h max ≤ η on a donc
0≤n |e n | −
0≤n h n |α n |
≤
0≤n h n |β n | ≤ ε
h n = T ε.
On en d´ eduit
lim
hmax→0
0≤n |e n | = lim
hmax→0
0≤n h n |α n |
=
t0+T
t0
|f (t, z(t)) − Φ(t, z(t), 0)|dt
car
h n |α n | est une somme de Riemann de l’int´ egrale pr´ ec´ edente. Par d´ efinition,
la m´ ethode est consistante si et seulement si lim
|e n | = 0 pour toute solution
exacte z. On en d´ eduit :
Th´ eor` eme – La m´ ethode ` a 1 pas d´ efinie par la fonction Φ est consistante si et
seulement si
∀(t, y) ∈ [t 0 , t 0 + T ] × R, Φ(t, y, 0) = f (t, y).
Il r´ esulte de ce th´ eor` eme que les m´ ethodes ` a un pas d´ ej` a mentionn´ ees sont bien
consistantes.