VIII – M´ ethodes num´ eriques `
a un pas
227
D´ efinition 1 – On dit que la m´ ethode est consistante si pour toute solution
exacte z la somme des erreurs de consistance relatives `
a z, soit
0≤n≤N
|e n |, tend
vers 0 quand h max tend vers 0.
Une autre notion fondamentale est la notion de stabilit´ e. Dans la pratique, le calcul
r´ ecurrent des points y n est en effet entˆ ach´ e d’erreurs d’arrondi ε n . Pour que les
calculs soient significatifs, il est indispensable que la propagation de ces erreurs
reste contrˆ olable. On est amen´ e ` a la d´ efinition suivante.
D´ efinition 2 – On dit que la m´ ethode est stable s’il existe une constante S ≥ 0,
appel´ ee constante de stabilit´ e, telle que pour toutes suites (y n ), ( y n ) d´ efinies par
y n+1 = y n + h n Φ(t n , y n , h n ),
0 ≤ n < N
y n+1 =
y n + h n Φ(t n ,
y n , h n ) + ε n , 0 ≤ n < N
on ait
max
0≤n≤N
| y n − y n | ≤ S
| y 0 − y 0 | +
0≤n
.
Autrement dit, une petite erreur initiale | y 0 − y 0 | et de petites erreurs d’arrondi ε n
dans le calcul r´ ecurrent des
y n provoquent une erreur finale max | y n −y n | contrˆ olable.
Une derni` ere notion importante en pratique est la suivante.
D´ efinition 3 – On dit que la m´ ethode est convergente si pour toute solution
exacte z, la suite y n telle que y n+1 = y n + h n Φ(t n , y n , h n ) v´ erifie
max
0≤n≤N
|y n − z(t n )| → 0
quand y 0 → z(t 0 ) et quand h max → 0.
La quantit´ e max
0≤n≤N
|y n − z(t n )| s’appelle l’erreur globale (de la suite y n calcul´ ee par
rapport `
a la solution exacte z). C’est ´ evidemment cette erreur qui importe dans la
pratique.
Calcul de l’erreur globale – Posons
y n = z(t n ). Par d´ efinition de l’erreur de
consistance (cf. § 2.1) on a
y n+1 =
y n + h n Φ(t n ,
y n , h n ) + e n .
Si la m´ ethode est stable, de constante de stabilit´ e S, l’erreur globale est donc
max
0≤n≤N
|y n − z(t n )| ≤ S
|y 0 − z(t 0 )| +
0≤n
.
Corollaire – Si la m´ ethode est stable et consistante, elle est convergente.
a un pas
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D´ efinition 1 – On dit que la m´ ethode est consistante si pour toute solution
exacte z la somme des erreurs de consistance relatives `
a z, soit
0≤n≤N
|e n |, tend
vers 0 quand h max tend vers 0.
Une autre notion fondamentale est la notion de stabilit´ e. Dans la pratique, le calcul
r´ ecurrent des points y n est en effet entˆ ach´ e d’erreurs d’arrondi ε n . Pour que les
calculs soient significatifs, il est indispensable que la propagation de ces erreurs
reste contrˆ olable. On est amen´ e ` a la d´ efinition suivante.
D´ efinition 2 – On dit que la m´ ethode est stable s’il existe une constante S ≥ 0,
appel´ ee constante de stabilit´ e, telle que pour toutes suites (y n ), ( y n ) d´ efinies par
y n+1 = y n + h n Φ(t n , y n , h n ),
0 ≤ n < N
y n+1 =
y n + h n Φ(t n ,
y n , h n ) + ε n , 0 ≤ n < N
on ait
max
0≤n≤N
| y n − y n | ≤ S
| y 0 − y 0 | +
0≤n
.
Autrement dit, une petite erreur initiale | y 0 − y 0 | et de petites erreurs d’arrondi ε n
dans le calcul r´ ecurrent des
y n provoquent une erreur finale max | y n −y n | contrˆ olable.
Une derni` ere notion importante en pratique est la suivante.
D´ efinition 3 – On dit que la m´ ethode est convergente si pour toute solution
exacte z, la suite y n telle que y n+1 = y n + h n Φ(t n , y n , h n ) v´ erifie
max
0≤n≤N
|y n − z(t n )| → 0
quand y 0 → z(t 0 ) et quand h max → 0.
La quantit´ e max
0≤n≤N
|y n − z(t n )| s’appelle l’erreur globale (de la suite y n calcul´ ee par
rapport `
a la solution exacte z). C’est ´ evidemment cette erreur qui importe dans la
pratique.
Calcul de l’erreur globale – Posons
y n = z(t n ). Par d´ efinition de l’erreur de
consistance (cf. § 2.1) on a
y n+1 =
y n + h n Φ(t n ,
y n , h n ) + e n .
Si la m´ ethode est stable, de constante de stabilit´ e S, l’erreur globale est donc
max
0≤n≤N
|y n − z(t n )| ≤ S
|y 0 − z(t 0 )| +
0≤n
.
Corollaire – Si la m´ ethode est stable et consistante, elle est convergente.