226
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Or t n −
t n−1 +
hn−1
2
=
hn−1
2
et
y n −
y n−
1
2
= y n −
y n−1 +
h n−1
2
p n−2
= y n −
y n − h n−1
p n−1 +
h n−1
2
p n−2
= h n−1
p n−1 −
1
2
p n−2
=
1
2
h n−1 f (t n , y n ) + o(h n−1 ) ;
` a la troisi` eme ligne on utilise le fait que y n =
y n = z(t n ), et `
a la quatri` eme le fait
que
p n−i = f (t n−i +h n−i /2,
y n−i +1/2) converge vers f (t n , y n ) pour i = 1, 2 lorsque
h max tend vers 0. Grˆ ace ` a la formule de Taylor pour les fonctions de 2 variables, il
vient
f (t n , y n ) − f
t n−1 +
h n−2
2
,
y n−
1
2
=
h n−1
2
f
t (t n , y n ) +
1
2
h n−1 f (t n , y n )f
y (t n , y n ) + o(h n−1 )
=
1
2
h n−1 (f
t + ff
y )(t n , y n ) + o(h n−1 )
=
1
2
h n−1 f
[1] (t n , y n ) + o(h n−1 ),
d’o` u
y n+
1
2
−
y n+
1
2
=
1
4
h n h n−1 f
[1] (t n , y n ) + o(h n h n−1 ).
On en d´ eduit finalement
ε
n = h n f
y
t n +
h n
2
, c n
y n+
1
2
−
y n+
1
2
=
1
4
h
2
n h n−1
f
y f
[1]
(t n , y n ) + o(h
2
n h n−1 ),
d’o` u l’erreur de consistance
e n =
1
24
h
3
n
f
[2] + 3f
y f
[1]
(t n , y n ) +
1
4
h
2
n h n−1 (f
y f
[1] )(t n , y n ) + o(h
3
n + h
2
n h n−1 ).
La m´ ethode du point milieu modifi´ e est donc encore une m´ ethode d’ordre 2 (mais
ce n’est pas une m´ ethode ` a un pas !).
¾º
ØÙÙÙ Ò ÖÖÐÐ × Ñ ØØÓÓÓ×
ÙÒ Ô×
¾º½º Å ØØÓÓÓ× ÓÒ×××ØÒØØ׸ ×ØÐÐ× Ø ÓÒÚÚÖÒØØ×
La premi` ere notion que nous introduisons a trait au probl` eme de l’accumulation
des erreurs de consistance (accumulation purement th´ eorique dans le sens o` u on
tient pas compte du fait que la solution calcul´ ee s’´ ecarte de la solution exacte, cf.
sch´ emas du § 1.1).