VIII – M´ ethodes num´ eriques `
a un pas
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½ººº¶ Å ØØÓÓÓ Ù ÔÓÓÒØ ÑÑÐÐÐÙ ÑÓÓÓÓÓ
Si on observe les algorithmes pr´ ec´ edents, on voit que la seule op´ eration ´ eventuellement coˆ uteuse en temps de calcul est l’´ evaluation de la fonction f (t, y), le reste
consistant en un petit nombre d’additions ou de multiplications. On mesure donc
le coˆ ut d’une m´ ethode d’ordre donn´ e par le nombre d’´ evaluations de la fonction f
qu’elle r´ eclame ` a chaque pas. Pour des m´ ethodes d’ordres diff´ erents la comparaison
ne tient pas, puisqu’une m´ ethode d’ordre plus ´ elev´ e exige ` a pr´ ecision ´ egale un
nombre de pas nettement inf´ erieur.
Dans la m´ ethode du point milieu, on va modifier le calcul successif de f (t n , y n ) et de
la pente interm´ ediaire p n = f
t n +
hn
2 , y n+
1
2
en introduisant l’algorithme suivant,
qui fait l’´ economie de l’´ evaluation de f (t n , y n ) :
y n+
1
2
=
y n +
h n
2
p n−1
p n = f
t n +
h n
2
,
y n+
1
2
y n+1 =
y n + h n
p n
t n+1 = t n + h n .
On a donc modifi´ e l´ eg` erement le calcul de y n+
1
2
en rempla¸ cant la pente f (t n , y n )
par la pente
p n−1 calcul´ ee ` a l’´ etape ant´ erieure. Il s’ensuit naturellement que les
valeurs y n sont elles aussi modifi´ ees en des valeurs
y n .
Remarque – Le d´ emarrage (´ etape n = 0) pr´ esente une difficult´ e car la pente
p −1 n’a pas ´ et´ e ´ evalu´ ee. On r´ esout cette difficult´ e en initialisant
p −1 = f (t 0 , y 0 ).
On observera que la m´ ethode du point milieu modifi´ e est en fait une m´ ethode ` a 2
pas (les ´ etapes n et n − 1 sont utilis´ ees pour calculer
y n+1 ).
´
Evaluons maintenant l’erreur de consistance
e n = z(t n+1 ) −
y n+1 , en supposant
y n = z(t n ). On peut ´ ecrire
e n = (z(t n+1 ) − y n+1 ) + (y n+1 −
y n+1 ) = e n + ε
n ,
o` u e n est l’erreur de consistance de la m´ ethode du point milieu standard (on suppose
donc aussi y n = z(t n ) pour la calculer). Il vient
ε
n = y n+1 −
y n+1 = h n
f
t n +
h n
2
, y n+
1
2
− f
t n +
h n
2
,
y n+
1
2
.
y n+
1
2
−
y n+
1
2
=
h n
2
f (t n , y n ) −
p n−1
=
h n
2
f (t n , y n ) − f
t n−1 +
h n−1
2
,
y n−
1
2
.
a un pas
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½ººº¶ Å ØØÓÓÓ Ù ÔÓÓÒØ ÑÑÐÐÐÙ ÑÓÓÓÓÓ
Si on observe les algorithmes pr´ ec´ edents, on voit que la seule op´ eration ´ eventuellement coˆ uteuse en temps de calcul est l’´ evaluation de la fonction f (t, y), le reste
consistant en un petit nombre d’additions ou de multiplications. On mesure donc
le coˆ ut d’une m´ ethode d’ordre donn´ e par le nombre d’´ evaluations de la fonction f
qu’elle r´ eclame ` a chaque pas. Pour des m´ ethodes d’ordres diff´ erents la comparaison
ne tient pas, puisqu’une m´ ethode d’ordre plus ´ elev´ e exige ` a pr´ ecision ´ egale un
nombre de pas nettement inf´ erieur.
Dans la m´ ethode du point milieu, on va modifier le calcul successif de f (t n , y n ) et de
la pente interm´ ediaire p n = f
t n +
hn
2 , y n+
1
2
en introduisant l’algorithme suivant,
qui fait l’´ economie de l’´ evaluation de f (t n , y n ) :
y n+
1
2
=
y n +
h n
2
p n−1
p n = f
t n +
h n
2
,
y n+
1
2
y n+1 =
y n + h n
p n
t n+1 = t n + h n .
On a donc modifi´ e l´ eg` erement le calcul de y n+
1
2
en rempla¸ cant la pente f (t n , y n )
par la pente
p n−1 calcul´ ee ` a l’´ etape ant´ erieure. Il s’ensuit naturellement que les
valeurs y n sont elles aussi modifi´ ees en des valeurs
y n .
Remarque – Le d´ emarrage (´ etape n = 0) pr´ esente une difficult´ e car la pente
p −1 n’a pas ´ et´ e ´ evalu´ ee. On r´ esout cette difficult´ e en initialisant
p −1 = f (t 0 , y 0 ).
On observera que la m´ ethode du point milieu modifi´ e est en fait une m´ ethode ` a 2
pas (les ´ etapes n et n − 1 sont utilis´ ees pour calculer
y n+1 ).
´
Evaluons maintenant l’erreur de consistance
e n = z(t n+1 ) −
y n+1 , en supposant
y n = z(t n ). On peut ´ ecrire
e n = (z(t n+1 ) − y n+1 ) + (y n+1 −
y n+1 ) = e n + ε
n ,
o` u e n est l’erreur de consistance de la m´ ethode du point milieu standard (on suppose
donc aussi y n = z(t n ) pour la calculer). Il vient
ε
n = y n+1 −
y n+1 = h n
f
t n +
h n
2
, y n+
1
2
− f
t n +
h n
2
,
y n+
1
2
.
y n+
1
2
−
y n+
1
2
=
h n
2
f (t n , y n ) −
p n−1
=
h n
2
f (t n , y n ) − f
t n−1 +
h n−1
2
,
y n−
1
2
.