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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
et donne lieu au sch´ ema num´ erique

         
         
y n+
1
2
= y n +
h n
2
f (t n , y n )
p n = f
t n +
h n
2
, y n+ 1 2
y n+1 = y n + h n p n
t n+1 = t n + h n .
Calculons l’erreur de consistance : e n = z(t n+1 ) − y n+1 , avec y n = z(t n ). On a
e n = ε n + ε
n o` u les erreurs
ε n = z(t n+1 ) − z(t n ) − h n z
t n +
h n
2
,
ε
n = h n z
t n +
h n
2
− (y n+1 − z(t n ))
= h n
f
t n +
h n
2
, z
t n +
h n
2
− f
t n +
h n
2
, y n+
1
2
proviennent respectivement des approximations (∗) et (∗∗). D’apr` es le calcul fait
plus haut
ε n =
1
24
h
3
n z
(t n ) + o(h
3
n ) =
1
24
h
3
n f
[2] (t n , y n ) + o(h
3
n ).
D’autre part
z
t n +
h n
2
− y n+
1
2
= z
t n +
h n
2
−
z(t n ) +
h n
2
z
(t n )
=
1
8
h
2
n z
(t n ) + o(h
2
n ) =
1
8
h
2
n f
[1] (t n , y n ) + o(h
2
n ).
D’apr` es le th´ eor` eme des accroissements finis appliqu´ e en y, on a
f
t n +
h n
2
, z
t n +
h n
2
− f
t n +
h n
2
, y n+
1
2
= f
y
t n +
h n
2
, c n
z
t n +
h n
2
− y n+
1
2
=
f
y (t n , y n ) + o(h n )
1
8
h
2
n f
[1] (t n , y n ) + o(h
2
n )
=
1
8
h
2
n f
y f
[1] (t n , y n ) + o(h
2
n ),
d’o` u
ε
n =
1
8
h
3
n f
y f
[1] (t n , y n ) + o(h
3
n ).
On en d´ eduit
e n = ε n + ε
n =
1
24
h
3
n
f
[2] + 3f
y f
[1]
(t n , y n ) + o(h
3
n ).
La m´ ethode du point milieu est donc d’ordre 2.