VIII – M´ ethodes num´ eriques `
a un pas
223
y
z(t + h)
z(t)
t
t+ h/2
t + h
t
ε
z
L’id´ ee est que la corde de la fonction z sur [t, t + h] a une pente voisine de z
t +
h
2
,
alors que dans la m´ ethode d’Euler on approxime brutalement cette pente par z
(t).
On ´ ecrit donc :
z(t + h) z(t) + hz
t +
h
2
.
(∗)
Si z est de classe C
3 , il vient
z(t + h) = z(t) + hz
(t) +
1
2
h
2 z
(t) +
1
6
h
3 z
(t) + o(h
3 ),
z
t +
h
2
=
z
(t) +
1
2
hz
(t) +
1
8
h
2 z
(t) + o(h
2 ).
L’erreur commise est donc
ε = z(t + h) − z(t) − hz
t +
h
2
=
1
24
h
3 z
(t) + o(h
3 ),
soit une erreur en h
3 au lieu de h
2 dans la m´ ethode d’Euler. On par ailleurs
z
t +
h
2
= f
t +
h
2
, z
t +
h
2
.
Comme la valeur de z
t +
h
2
n’est pas connue, on l’approxime par
z
t +
h
2
z(t) +
h
2
f (t, z(t)),
(∗∗)
d’o` u en d´ efinitive
z(t + h) z(t) + hf
t +
h
2
, z(t) +
h
2
f (t, z(t))
.
L’algorithme du point milieu est associ´ e au choix
Φ(t, y, h) = f
t +
h
2
, y +
h
2
f (t, y)