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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
½º¿º Å ØØÓÓÓ ÌÝÐÓÖ ³ÓÖÖÖÖ p
Supposons que f soit de classe C
p . Alors toute solution exacte z est de classe C
p+1 ,
et sa d´ eriv´ ee k-i` eme est z
(k) (t) = f
[k−1] (t, z(t)). La formule de Taylor d’ordre p
implique
z(t n + h n ) = z(t n ) +
p
k=1
1
k!
h
k
n f
[k−1] (t n , z(t n )) + o(h
p
n ).
Lorsque h n est assez petit, l’approximation est d’autant meilleure que p est plus
grand. On est donc amen´ e ` a consid´ erer l’algorithme suivant, appel´ e m´ ethode de
Taylor d’ordre p :
y n+1 = y n +
p
k=1
1
k!
h
k
n f
[k−1] (t n , y n )
t n+1 = t n + h n .
D’apr` es la d´ efinition g´ en´ erale des m´ ethodes ` a un pas, cet algorithme correspond au
choix Φ(t, y, h) =
p
k=1
1
k! h
k−1 f
[k−1] (t, y). Calculons l’erreur de consistance e n .
En supposant y n = z(t n ), la formule de Taylor d’ordre p + 1 donne
e n = z(t n+1 ) − y n+1 = z(t n + h n ) −
p
k=0
1
k!
h
k
n z
(k) (t n )
=
1
(p + 1)!
h
p+1
n f
[p] (t n , y n ) + o(h
p+1
n ).
L’erreur est donc maintenant de l’ordre de h
p+1
n . On dira d’une mani` ere g´ en´ erale
qu’une m´ ethode est d’ordre p si l’erreur de consistance est en h
p+1
n
chaque fois que
f est de classe C
p au moins. La m´ ethode d’Euler est le cas particulier p = 1 de la
m´ ethode de Taylor.
Remarque – Dans la pratique, la m´ ethode de Taylor souffre de deux inconv´ enients graves qui en font g´ en´ eralement d´ econseiller l’utilisation pour p ≥ 2 :
• Le calcul des quantit´ es f
[k] est souvent complexe et coˆ uteux en temps machine.
Il faut aussi pouvoir ´ evaluer explicitement f
[k] , ce qui n’est pas toujours le cas
(par exemple, si f est une donn´ ee exp´ erimentale discr´ etis´ ee).
• La m´ ethode suppose a priori que f soit tr` es r´ eguli` ere ; les erreurs risquent
donc de ne pas pouvoir ˆ etre contrˆ ol´ ees si certaines d´ eriv´ ees de f pr´ esentent des
discontinuit´ es ou une mauvaise continuit´ e (pentes ´ elev´ ees).
½ººº Å ØØÓÓÓ Ù ÔÓÓÒØ ÑÑÐÐÐÙ
Cette m´ ethode est d´ ecrite par le sch´ ema suivant.
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
½º¿º Å ØØÓÓÓ ÌÝÐÓÖ ³ÓÖÖÖÖ p
Supposons que f soit de classe C
p . Alors toute solution exacte z est de classe C
p+1 ,
et sa d´ eriv´ ee k-i` eme est z
(k) (t) = f
[k−1] (t, z(t)). La formule de Taylor d’ordre p
implique
z(t n + h n ) = z(t n ) +
p
k=1
1
k!
h
k
n f
[k−1] (t n , z(t n )) + o(h
p
n ).
Lorsque h n est assez petit, l’approximation est d’autant meilleure que p est plus
grand. On est donc amen´ e ` a consid´ erer l’algorithme suivant, appel´ e m´ ethode de
Taylor d’ordre p :
y n+1 = y n +
p
k=1
1
k!
h
k
n f
[k−1] (t n , y n )
t n+1 = t n + h n .
D’apr` es la d´ efinition g´ en´ erale des m´ ethodes ` a un pas, cet algorithme correspond au
choix Φ(t, y, h) =
p
k=1
1
k! h
k−1 f
[k−1] (t, y). Calculons l’erreur de consistance e n .
En supposant y n = z(t n ), la formule de Taylor d’ordre p + 1 donne
e n = z(t n+1 ) − y n+1 = z(t n + h n ) −
p
k=0
1
k!
h
k
n z
(k) (t n )
=
1
(p + 1)!
h
p+1
n f
[p] (t n , y n ) + o(h
p+1
n ).
L’erreur est donc maintenant de l’ordre de h
p+1
n . On dira d’une mani` ere g´ en´ erale
qu’une m´ ethode est d’ordre p si l’erreur de consistance est en h
p+1
n
chaque fois que
f est de classe C
p au moins. La m´ ethode d’Euler est le cas particulier p = 1 de la
m´ ethode de Taylor.
Remarque – Dans la pratique, la m´ ethode de Taylor souffre de deux inconv´ enients graves qui en font g´ en´ eralement d´ econseiller l’utilisation pour p ≥ 2 :
• Le calcul des quantit´ es f
[k] est souvent complexe et coˆ uteux en temps machine.
Il faut aussi pouvoir ´ evaluer explicitement f
[k] , ce qui n’est pas toujours le cas
(par exemple, si f est une donn´ ee exp´ erimentale discr´ etis´ ee).
• La m´ ethode suppose a priori que f soit tr` es r´ eguli` ere ; les erreurs risquent
donc de ne pas pouvoir ˆ etre contrˆ ol´ ees si certaines d´ eriv´ ees de f pr´ esentent des
discontinuit´ es ou une mauvaise continuit´ e (pentes ´ elev´ ees).
½ººº Å ØØÓÓÓ Ù ÔÓÓÒØ ÑÑÐÐÐÙ
Cette m´ ethode est d´ ecrite par le sch´ ema suivant.