VIII – M´ ethodes num´ eriques `
a un pas
221
t 0
t 1
t 2
t 3
t 4
t
e 0
e 1
e 2
e 3
y
y 0
y 1
y 2
y 3
y 4
z
z 1 z 2 z 3
θ 4
[Les fonctions z, z 1 , z 2 , z 3 repr´ esentent ici les solutions exactes passant par les
points (t 0 , y 0 ) et (t j , y j ), j = 1, 2, 3].
½º¾º ÊÊØÓÙÖ ×ÙÖ ÐÐ Ñ ØØÓÓÓ ³³ÙÐÐÖ
Soit z une solution exacte de l’´ equation (E). On a au premier ordre l’approximation
z(t n+1 ) = z(t n + h n ) z(t n ) + h n z
(t n ) = z(t n ) + h n f (t n , z(t n )).
Comme on l’a d´ ej` a vu au chapitre V, ceci conduit `
a l’algorithme
y n+1 = y n + h n f (t n , y n )
t n+1 = t n + h n .
Par d´ efinition de l’erreur de consistance, on a e n = z(t n + h n ) − y n+1 o` u
y n+1 = z(t n ) + h n f (t n , z(t n )) = z(t n ) + h n z
(t n ).
La formule de Taylor-Lagrange donne
e n = z(t n + h n ) − (z(t n ) + h n z
(t n )) =
1
2
h
2
n z
(t n ) + o(h
2
n ),
pourvu que z soit de classe C
2 . C’est bien le cas si f est de classe C
1 , et on sait
alors que
z
(t) = f
[1] (t, z(t))
o` u
f
[1] = f
t + f
y f.
On en d´ eduit par cons´ equent
e n =
1
2
h
2
n f
[1] (t n , y n ) + o(h
2
n ).
Cette erreur en h
2
n est relativement importante, `
a moins que le pas h n ne soit
choisi tr` es petit, ce qui augmente consid´ erablement le volume des calculs ` a effectuer.
On va donc essayer de construire des m´ ethodes permettant de r´ eduire l’erreur de
consistance e n .