ÔÔØÖÖ ÎÁÁÁ
Å
ØØÓÓÓ× ÒÙÑ
ÖÖÕÙÙ×
ÙÒ Ô×
L’objectif de ce chapitre est de d´ ecrire un certain nombre de m´ ethodes permettant
de r´ esoudre num´ eriquement le probl` eme de Cauchy de condition initiale y(t 0 ) = y 0
pour une ´ equation diff´ erentielle
(E)
y
= f (t, y),
o` u f : [t 0 , t 0 +T ]×R → R est une fonction suffisamment r´ eguli` ere. Nous avons choisi
ici d’exposer le cas des ´ equations unidimensionnelles dans le seul but de simplifier
les notations ; le cas des syst` emes dans R
m est tout ` a fait identique, `
a condition
de consid´ erer y comme une variable vectorielle et f comme une fonction vectorielle
dans les algorithmes qui vont ˆ etre d´ ecrits.
´
Etant donn´ e une subdivision t 0 < t 1 < . . . < t N = t 0 + T de [t 0 , t 0 + T ], on cherche
` a d´ eterminer des valeurs approch´ ees y 0 , y 1 , . . . , y N des valeurs y(t n ) prises par la
solution exacte y. On notera les pas successifs
h n = t n+1 − t n ,
0 ≤ n ≤ N − 1,
et
h max = max (h n )
le maximum du pas.
On appelle m´ ethode ` a un pas une m´ ethode permettant de calculer y n+1 ` a partir de
la seule valeur ant´ erieure y n . Une m´ ethode ` a r pas est au contraire une m´ ethode
qui utilise les r valeurs ant´ erieures y n , . . . , y n−r+1 (valeurs qui doivent donc ˆ etre
m´ emoris´ ees) afin de faire le calcul de y n+1 .
½º ÒÒØØÓÒ × Ñ ØØÓÓÓ×
ÙÒ Ô׸ ÜÜÑÔÐÐ×
½º½º ÒÒØØÓÒ×
Les m´ ethodes ` a un pas sont les m´ ethodes de r´ esolution num´ erique qui peuvent
s’´ ecrire sous la forme
y n+1 = y n + h n Φ(t n , y n , h n ),
0 ≤ n < N,
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L’objectif de ce chapitre est de d´ ecrire un certain nombre de m´ ethodes permettant
de r´ esoudre num´ eriquement le probl` eme de Cauchy de condition initiale y(t 0 ) = y 0
pour une ´ equation diff´ erentielle
(E)
y
= f (t, y),
o` u f : [t 0 , t 0 +T ]×R → R est une fonction suffisamment r´ eguli` ere. Nous avons choisi
ici d’exposer le cas des ´ equations unidimensionnelles dans le seul but de simplifier
les notations ; le cas des syst` emes dans R
m est tout ` a fait identique, `
a condition
de consid´ erer y comme une variable vectorielle et f comme une fonction vectorielle
dans les algorithmes qui vont ˆ etre d´ ecrits.
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Etant donn´ e une subdivision t 0 < t 1 < . . . < t N = t 0 + T de [t 0 , t 0 + T ], on cherche
` a d´ eterminer des valeurs approch´ ees y 0 , y 1 , . . . , y N des valeurs y(t n ) prises par la
solution exacte y. On notera les pas successifs
h n = t n+1 − t n ,
0 ≤ n ≤ N − 1,
et
h max = max (h n )
le maximum du pas.
On appelle m´ ethode ` a un pas une m´ ethode permettant de calculer y n+1 ` a partir de
la seule valeur ant´ erieure y n . Une m´ ethode ` a r pas est au contraire une m´ ethode
qui utilise les r valeurs ant´ erieures y n , . . . , y n−r+1 (valeurs qui doivent donc ˆ etre
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Les m´ ethodes ` a un pas sont les m´ ethodes de r´ esolution num´ erique qui peuvent
s’´ ecrire sous la forme
y n+1 = y n + h n Φ(t n , y n , h n ),
0 ≤ n < N,