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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
o` u 0 < ε < w sont des constantes. D´ eterminer U π ; montrer que V se met sous
la forme B ◦ U π o` u l’on d´ eterminera la matrice B (on pourra utiliser que f est
constante sur [π, 2π[ ainsi que sur [0, π[). V´ erifier que det V = 1.
(e) Montrer qu’alors une des valeurs propres de V est inf´ erieure ` a 1 en module et que
l’´ equation y
+ f (t)y = 0 admet une solution born´ ee (non identiquement nulle)
sur [0, +∞[ et une solution born´ ee (non identiquement nulle) sur ] − ∞, 0[ ;
` a quelle condition admet-elle une solution born´ ee (non identiquement nulle)
sur R ?
(f) Montrer que la trace de V s’´ ecrit
−∆ cos 2πε + (2 + ∆) cos 2πw
o` u
w + ε
w − ε
+
w − ε
w + ε
= 2(1 + ∆).
En d´ eduire que si w n’est pas la moiti´ e d’un entier et si ε est assez petit, toutes
les solutions de y
+ f (t)y = 0 sont born´ ees. Que passe-t-il si w est la moiti´ e
d’un entier ?
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
o` u 0 < ε < w sont des constantes. D´ eterminer U π ; montrer que V se met sous
la forme B ◦ U π o` u l’on d´ eterminera la matrice B (on pourra utiliser que f est
constante sur [π, 2π[ ainsi que sur [0, π[). V´ erifier que det V = 1.
(e) Montrer qu’alors une des valeurs propres de V est inf´ erieure ` a 1 en module et que
l’´ equation y
+ f (t)y = 0 admet une solution born´ ee (non identiquement nulle)
sur [0, +∞[ et une solution born´ ee (non identiquement nulle) sur ] − ∞, 0[ ;
` a quelle condition admet-elle une solution born´ ee (non identiquement nulle)
sur R ?
(f) Montrer que la trace de V s’´ ecrit
−∆ cos 2πε + (2 + ∆) cos 2πw
o` u
w + ε
w − ε
+
w − ε
w + ε
= 2(1 + ∆).
En d´ eduire que si w n’est pas la moiti´ e d’un entier et si ε est assez petit, toutes
les solutions de y
+ f (t)y = 0 sont born´ ees. Que passe-t-il si w est la moiti´ e
d’un entier ?