VII – Syst` emes diff´ erentiels lin´ eaires
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(a) D´ eterminer la solution g´ en´ erale de l’´ equation sans second membre associ´ ee ` a (E).
(b) A l’aide de la m´ ethode de variation des constantes, d´ eterminer la solution
g´ en´ erale de l’´ equation (E).
(c) Montrer que (E) admet une solution et une seule de la forme At cos t+Bt sin t :
la d´ eterminer explicitement, et tracer son graphe.
5.5. On consid` ere dans R
2 le syst` eme diff´ erentiel
dx
dt
= tx − y
dy
dt
= x + ty
o` u x, y sont des fonctions r´ eelles de la variable r´ eelle t.
(a) R´ esoudre le probl` eme de Cauchy de donn´ ee initiale (x 0 , y 0 ) au temps t 0 = 0 (on
pourra poser z = x + iy).
(b) Mˆ eme question pour le syst` eme
dx
dt
= tx − y + t cos t − t
3 sin t
dy
dt
= x + ty + t sin t + t
3 cos t.
5.6. On consid` ere un syst` eme diff´ erentiel X
= A(t)X o` u A(t) est une matrice ` a
2 lignes et 2 colonnes ` a coefficients de p´ eriode 2π, born´ es et continus par morceaux.
(a) Montrer que l’application qui `
a M ∈ R
2 associe la position ` a l’instant s de la
solution X(t) de X
= A(t) v´ erifiant X(0) = M est une application lin´ eaire
bijective. On d´ esignera par U s cet endormorphisme et on notera V = U 2π .
(b) Montrer que l’´ equation X
= A(t)X admet une solution 2π-p´ eriodique non
identiquement nulle si et seulement si 1 est valeur propre de V ; comment peuton interpr´ eter le fait que V admette pour valeur propre une racine k-i` eme de
l’unit´ e ?
(c) On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle y
+ f (t)y = 0 o` u f est une fonction 2πp´ eriodique `
a valeurs r´ elles. Mettre cette ´ equation sous la forme d’un syst` eme
du premier ordre.
(d) On supposera dor´ enavant que
f (t) =
(w + ε)
2
si t ∈ [0, π[
(w − ε)
2
si t ∈ [π, 2π[
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(a) D´ eterminer la solution g´ en´ erale de l’´ equation sans second membre associ´ ee ` a (E).
(b) A l’aide de la m´ ethode de variation des constantes, d´ eterminer la solution
g´ en´ erale de l’´ equation (E).
(c) Montrer que (E) admet une solution et une seule de la forme At cos t+Bt sin t :
la d´ eterminer explicitement, et tracer son graphe.
5.5. On consid` ere dans R
2 le syst` eme diff´ erentiel
dx
dt
= tx − y
dy
dt
= x + ty
o` u x, y sont des fonctions r´ eelles de la variable r´ eelle t.
(a) R´ esoudre le probl` eme de Cauchy de donn´ ee initiale (x 0 , y 0 ) au temps t 0 = 0 (on
pourra poser z = x + iy).
(b) Mˆ eme question pour le syst` eme
dx
dt
= tx − y + t cos t − t
3 sin t
dy
dt
= x + ty + t sin t + t
3 cos t.
5.6. On consid` ere un syst` eme diff´ erentiel X
= A(t)X o` u A(t) est une matrice ` a
2 lignes et 2 colonnes ` a coefficients de p´ eriode 2π, born´ es et continus par morceaux.
(a) Montrer que l’application qui `
a M ∈ R
2 associe la position ` a l’instant s de la
solution X(t) de X
= A(t) v´ erifiant X(0) = M est une application lin´ eaire
bijective. On d´ esignera par U s cet endormorphisme et on notera V = U 2π .
(b) Montrer que l’´ equation X
= A(t)X admet une solution 2π-p´ eriodique non
identiquement nulle si et seulement si 1 est valeur propre de V ; comment peuton interpr´ eter le fait que V admette pour valeur propre une racine k-i` eme de
l’unit´ e ?
(c) On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle y
+ f (t)y = 0 o` u f est une fonction 2πp´ eriodique `
a valeurs r´ elles. Mettre cette ´ equation sous la forme d’un syst` eme
du premier ordre.
(d) On supposera dor´ enavant que
f (t) =
(w + ε)
2
si t ∈ [0, π[
(w − ε)
2
si t ∈ [π, 2π[