216
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
(d) Soit T (x 0 , y 0 ) la trajectoire t →
x(t)
y(t)
= M (t) correspondant aux conditions
initiales M (0) =
x 0
y 0
.
(α) Pour quelles positions de M (0) cette trajectoire T (x 0 , y 0 ) est-elle une demidroite ?
(β) Pour quelles positions de M (0) tend-elle vers 0 quand t → +∞ ?
(γ) Indiquer sur un mˆ eme figure :
• la forme des trajectoires T (x 0 , 0) partant d’un point (x 0 , 0), x 0 > 0,
de l’axe des x ;
• la forme des trajectoires T (0, y 0 ) partant d’un point (0, y 0 ), y 0 > 0,
de l’axe des y.
5.3. On note t une variable r´ eelle, et on consid` ere les deux matrices
B =
0 1
1 0
, C =
1 1
0 1
.
(a) Pour tout n ≥ 0, calculer explicitement B
n et C
n , et en d´ eduire e
tB et e
tC .
(b) Mˆ emes questions pour la matrice
A =



0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 1 1
0 0 0 1


 .
On pose maintenant T = [0, +∞[ ; on note b i (t) (1 ≤ i ≤ 4) quatre fonctions
continues sur T , et on consid` ere le syst` eme diff´ erentielle lin´ eaire avec second
membre
(S)

 
 
y
1 =
y 2
+ b 1 (t)
y
2 = y 1
+ b 2 (t)
y
3 =
y 3 + y 4 + b 3 (t)
y
4 =
y 4 + b 4 (t) .
On note (S 0 ) le syst` eme sans second membre associ´ e ` a (S).
(c) ´
Ecrire la solution de (S 0 ) correspondant `
a des conditions initiales y i (0) = v i , les
v i (1 ≤ i ≤ 4) ´ etant quatre constantes donn´ ees.
(d) Indiquer comment on peut alors r´ esoudre (S) par la m´ ethode dite de variation
des constantes, et appliquer cette m´ ethode au cas particulier
b 1 (t) = 1, b 2 (t) = b 3 (t) = 0, b 4 = e
t .
5.4. On consid` ere l’´ equation lin´ eaire du 3
e ordre
(E)
y
+ y
+ y
+ y = cos t,
o` u y d´ esigne une fonction inconnue de la variable t ≥ 0.