VII – Syst` emes diff´ erentiels lin´ eaires
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On obtient ainsi la solution particuli` ere telle que Y (t 0 ) = 0. La solution telle que
Y (t 0 ) = V 0 est donn´ ee par
Y (t) = R(t, t 0 ) · V 0 +
t
t0
R(t, u)B(u)du.
Dans le cas o` u A(t) = A est ` a coefficients constants on retrouve la formule du § 2.4,
dans laquelle R(t, t 0 ) = e
(t−t0)A , et la formule du Wronskien ´ equivaut `
a l’identit´ e
d´ ej` a connue
det (e
(t−t0)A ) = exp ((t − t 0 ) tr A).
º ÈÖÓÓÐ ÑÑ×
5.1. Soient b et c deux fonctions continues sur un intervalle fix´ e T = [0, τ[. Soit (S)
le syst` eme diff´ erentiel lin´ eaire ` a coefficients constants et avec second membre
x
=
y + b(t)
y
= 2x − y + c(t)
et soit (S 0 ) le syst` eme sans second membre associ´ e (pour lequel b(t) = c(t) = 0).
(a) ´
Ecrire la matrice A de (S 0 ), et calculer e
tA .
(b) D´ eterminer la solution g´ en´ erale du syst` eme (S 0 ).
(c) D´ eterminer la solution g´ en´ erale du syst` eme (S) pour b(t) = 0, c(t) = e
−t .
5.2. Soit t une variable r´ eelle ≥ 0. On consid` ere le syst` eme diff´ erentiel lin´ eaire
(S)
x
=
2y
y
= x − y
(a) ´
Ecrire la matrice A de (S), montrer qu’elle a deux valeurs propres r´ eelles λ et
µ (λ > µ) et d´ eterminer les sous-espaces propres correspondants.
(b) On pose e x =
1
0
, e y =
0
1
, et on note respectivement v λ =
x λ
y λ
et
v µ =
x µ
y µ
les vecteurs propres associ´ es ` a λ et µ tels que y λ = y µ = 1.
Calculer x λ , x µ . D´ eterminer la matrice de passage P de l’ancienne base (e x , e y )
` a la nouvelle base (v λ , v µ ), et calculer sa matrice inverse P
−1 .
(c) On pose e
tA =
a(t) b(t)
c(t) d(t)
. Calculer explicitement a(t), b(t), c(t), d(t).
Donner la solution du syst` eme (S) v´ erifiant les conditions initiales x(0) = x 0 ,
y(0) = y 0 .