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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Le lemme entraˆ ıne alors
det (R(t + h, t)) = 1 + h tr (A(t)) + o(h),
∆(t + h) = ∆(t) + h tr (A(t))∆(t) + o(h).
On en d´ eduit
∆
(t) = tr (A(t))∆(t),
et comme ∆(t 0 ) = det (R(t 0 , t 0 )) = det I m = 1, il vient :
det R(t, t 0 ) = ∆(t) = exp
t
t0
tr A(u)du
,
W (t) = exp
t
t0
tr A(u)du
det (V 1 , . . . , V m ).
º¿º Å ØØÓÓÓ ÚÖÖÖØØÓÒ × ÓÒ×ØÒØØ×
Soit `
a r´ esoudre le syst` eme diff´ erentiel lin´ eaire
(E)
Y
= A(t)Y + B(t),
et soit R(t, t 0 ) la r´ esolvante du syst` eme lin´ eaire sans second membre
(E 0 )
Y
= A(t)Y.
On cherche alors une solution particuli` ere de (E) sous la forme
Y (t) = R(t, t 0 ) · V (t)
o` u V est suppos´ ee diff´ erentiable. Il vient
dY
dt
=
d
dt
R(t, t 0 )
· V (t) + R(t, t 0 ) · V
(t)
= A(t)R(t, t 0 ) · V (t) + R(t, t 0 ) · V
(t)
= A(t)Y (t) + R(t, t 0 ) · V
(t).
Il suffit donc de prendre R(t, t 0 ) · V
(t) = B(t), c’est-` a-dire
V
(t) = R(t 0 , t) · B(t),
V (t) =
t
t0
R(t 0 , u) · B(u)du,
Y (t) = R(t, t 0 ) · V (t) =
t
t0
R(t, t 0 )R(t 0 , u) · B(u)du,
Y (t) =
t
t0
R(t, u)B(u)du.