20
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
(c) On suppose que pour k = 1, . . . , n on a x k = µ + ε k avec |ε k | < ε o` u ε est petit
devant µ. Montrer que l’on a l’in´ egalit´ e
qn
n − µ
2
≤ 3µε.
En d´ eduire que la m´ ethode de calcul de σ n utilisant la formule du (a) est
inadapt´ ee pour une telle suite.
(d) On veut obtenir un algorithme de calcul de σ n plus stable.
Etablir les ´ egalit´ es :
(n + 1)σ
2
n+1 = nσ
2
n + n(µ n+1 − µ n )
2 + (x n+1 − µ n+1 )
2 ,
(n + 1)µ n+1 = nµ n + x n+1 .
En d´ eduire σ
2
n+1 =
n
n+1 σ
2
n +
1
n (x n+1 − µ n+1 )
2 .
(e) Reprendre la question (b) avec le nouvel algorithme.
(f) On consid` ere une suite de r´ eels x k = 1 + ε
2k−n−1
n−1 , k = 1, . . . , n. D´ eterminer sa
moyenne et son ´ ecart type.
(g) Mˆ eme question pour la suite des 2
n r´ eels x k , k = 1, . . . , 2
n telle que pour
p = 0, . . . , n on ait C
p
n termes ´ egaux `
a µ +
2p−n √
n
(On pourra remarquer que
p
2 C
p
n = pnC
p−1
n−1 ).