I – Calculs num´ eriques approch´ es
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de la s´ erie. En d´ eduire que pour x ≥ 3 on a un ph´ enom` ene de compensation
dans le calcul de la somme des premiers termes de la s´ erie.
(c) On d´ efinit g(x) par F (x) = e
−x
2 g(x).
Montrer que g est solution d’une ´ equation diff´ erentielle.
Exprimer g(x) comme somme d’une s´ erie enti` ere en x.
(d) En d´ eduire l’expression F (x) =
+∞
n=0 a n (x) o` u les a n (x) sont tous positifs.
D´ eterminer a 0 (x) et donner la solution de r´ ecurrence entre a n (x) et a n−1 (x).
Montrer l’in´ egalit´ e
+∞
n=N +1
a n (x) ≤ a N
x
2
N − x 2 (pour N > x
2 )
(e) En utilisant les r´ esultats pr´ ec´ edents, ´ ecrire un programme en langage informatique qui, `
a la lecture de x et d’un entier k ≤ 1 calcule une valeur approch´ ee de
F (x) `
a 10
−k pr` es.
4.2. Soit (I n ) n∈N la suite des int´ egrales
I n =
1
0
x
n
6 + x − x 2 dx.
(a) Montrer que I n v´ erifie une relation de r´ ecurrence de la forme
I n+1 = αI n + βI n−1 + c n
(∗)
o` u α, β sont des constantes et (c n ) une suite num´ erique explicite.
(b) On envisage le calcul r´ ecurrent de I n ` a partir de I 0 et I 1 par la formule (∗).
On suppose que les valeurs de I 0 et I 1 sont affect´ ees d’erreurs d’arrondis ε 0 et
ε 1 , et on note ε n l’erreur qui en r´ esulte sur I n (on n´ eglige ici l’erreur sur le
calcul de c n et les erreurs d’arrondi pouvant intervenir dans l’application de la
formule (∗)).
(α) D´ eterminer ε n en fonction de ε 0 et ε 1 .
(β) Est-il possible de calculer I 50 par ce proc´ ed´ e avec un ordinateur donnant
une pr´ ecision relative de 10
−10 ?
4.3. Etant donn´ e une suite x k , k = 1, . . . , n de r´ eels, on note µ n =
1
n
n
k=1 x k
la moyenne et σ n =
σ 2
n l’´ ecart type avec σ
2
n =
1
n
n
k=1 (x k − µ n )
2 .
(a) Soit q n =
n
k=1 x
2
k . Exprimer σ
2
n en fonction de q n et de µ n .
(b) Ecrire un programme qui calcule les moyennes et l’´ ecart type d’un nombre
ind´ etermin´ e de r´ eels. Les donn´ ees r´ eelles sont entr´ ees au clavier ; apr` es chaque
entr´ ee on affichera la moyenne et l’´ ecart type de la suite des nombres d´ ej` a entr´ es.
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de la s´ erie. En d´ eduire que pour x ≥ 3 on a un ph´ enom` ene de compensation
dans le calcul de la somme des premiers termes de la s´ erie.
(c) On d´ efinit g(x) par F (x) = e
−x
2 g(x).
Montrer que g est solution d’une ´ equation diff´ erentielle.
Exprimer g(x) comme somme d’une s´ erie enti` ere en x.
(d) En d´ eduire l’expression F (x) =
+∞
n=0 a n (x) o` u les a n (x) sont tous positifs.
D´ eterminer a 0 (x) et donner la solution de r´ ecurrence entre a n (x) et a n−1 (x).
Montrer l’in´ egalit´ e
+∞
n=N +1
a n (x) ≤ a N
x
2
N − x 2 (pour N > x
2 )
(e) En utilisant les r´ esultats pr´ ec´ edents, ´ ecrire un programme en langage informatique qui, `
a la lecture de x et d’un entier k ≤ 1 calcule une valeur approch´ ee de
F (x) `
a 10
−k pr` es.
4.2. Soit (I n ) n∈N la suite des int´ egrales
I n =
1
0
x
n
6 + x − x 2 dx.
(a) Montrer que I n v´ erifie une relation de r´ ecurrence de la forme
I n+1 = αI n + βI n−1 + c n
(∗)
o` u α, β sont des constantes et (c n ) une suite num´ erique explicite.
(b) On envisage le calcul r´ ecurrent de I n ` a partir de I 0 et I 1 par la formule (∗).
On suppose que les valeurs de I 0 et I 1 sont affect´ ees d’erreurs d’arrondis ε 0 et
ε 1 , et on note ε n l’erreur qui en r´ esulte sur I n (on n´ eglige ici l’erreur sur le
calcul de c n et les erreurs d’arrondi pouvant intervenir dans l’application de la
formule (∗)).
(α) D´ eterminer ε n en fonction de ε 0 et ε 1 .
(β) Est-il possible de calculer I 50 par ce proc´ ed´ e avec un ordinateur donnant
une pr´ ecision relative de 10
−10 ?
4.3. Etant donn´ e une suite x k , k = 1, . . . , n de r´ eels, on note µ n =
1
n
n
k=1 x k
la moyenne et σ n =
σ 2
n l’´ ecart type avec σ
2
n =
1
n
n
k=1 (x k − µ n )
2 .
(a) Soit q n =
n
k=1 x
2
k . Exprimer σ
2
n en fonction de q n et de µ n .
(b) Ecrire un programme qui calcule les moyennes et l’´ ecart type d’un nombre
ind´ etermin´ e de r´ eels. Les donn´ ees r´ eelles sont entr´ ees au clavier ; apr` es chaque
entr´ ee on affichera la moyenne et l’´ ecart type de la suite des nombres d´ ej` a entr´ es.