18
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
(arrondis `
a 10
−9 pr` es, sur la mˆ eme impl´ ementation de calcul que ci-dessus) :
u 0
2,000000000
2,000000001
1,999999999
5 · 10
−10
u 5
5,595485181
5,595484655
5,595485710
9 · 10
−8
u 10
0,703934587
0,703934920
0,703934252
5 · 10
−7
u 15
1,126698502
1,126689382
1,126707697
8 · 10
−6
u 20
1,266106839
1,266256924
1,265955552
10
−4
u 24
1,000976376
1,001923276
1,000022532
10
−3
u 25
0,000975900
0,001921429
0,000022532
100%
u 26
6,932150628
6,254686211
10,700574400
50%
u 30
0,880833175
0,691841353
1,915129896
100%
La derni` ere colonne donne l’ordre de grandeur de l’´ ecart relatif ∆u n /u n observ´ e
entre la deuxi` eme ou troisi` eme colonne et la premi` ere colonne. On voit que cet
´ ecart augmente constamment pour atteindre environ 10
−3 sur u 24 . Pour le calcul
de u 25 , il se produit une v´ eritable catastrophe num´ erique : l’´ ecart relatif devient
voisin de 100% ! Il en r´ esulte que toutes les valeurs calcul´ ees ` a partir de u 25 sont
certainement non significatives pour une pr´ ecision des calculs de 10
−9 .
Pour comprendre ce ph´ enom` ene, il suffit d’observer qu’une erreur ∆x sur la variable
x entraˆ ıne une erreur ∆f (x) sur f (x), approximativement donn´ ee par
∆f (x) = |f
(x)| ∆x.
Ceci se voit bien sˆ ur en approximant f (x + ∆x) − f (x) par sa diff´ erentielle f
(x)∆x,
lorsque f est d´ erivable au point x. Le coefficient d’amplification de l’erreur absolue
est donc donn´ e par la valeur absolue de la d´ eriv´ ee |f
(x)| ; ce coefficient peut ˆ etre
parfois assez grand. Souvent dans les calculs num´ eriques (et ici en particulier), il
est plus pertinent de consid´ erer les erreurs relatives. La formule
∆f (x)
|f (x)|
=
|f
(x)||x|
|f (x)|
∆x
|x|
montre que le coefficient d’amplification de l’erreur relative est |f
(x)||x|/|f (x)|.
Dans le cas f (x) = ln (x) qui nous int´ eresse, ce coefficient vaut 1/| ln x| ; il devient
tr` es grand lorsque x est proche de 1, comme c’est le cas par exemple pour u 24 .
º ÈÖÓÓÐ ÑÑ×
4.1. Soit x ≥ 0 ; on note F (x) =
2
√
π
x
0
e
−t
2 dt.
(a) Encadrer F (x) par deux entiers cons´ ecutifs.
(b) En rempla¸ cant e
−t
2 par un d´ eveloppement en s´ erie enti` ere de x, exprimer F (x)
comme somme d’une s´ erie. On choisit x = 3 ; calculer les 10 premiers termes
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
(arrondis `
a 10
−9 pr` es, sur la mˆ eme impl´ ementation de calcul que ci-dessus) :
u 0
2,000000000
2,000000001
1,999999999
5 · 10
−10
u 5
5,595485181
5,595484655
5,595485710
9 · 10
−8
u 10
0,703934587
0,703934920
0,703934252
5 · 10
−7
u 15
1,126698502
1,126689382
1,126707697
8 · 10
−6
u 20
1,266106839
1,266256924
1,265955552
10
−4
u 24
1,000976376
1,001923276
1,000022532
10
−3
u 25
0,000975900
0,001921429
0,000022532
100%
u 26
6,932150628
6,254686211
10,700574400
50%
u 30
0,880833175
0,691841353
1,915129896
100%
La derni` ere colonne donne l’ordre de grandeur de l’´ ecart relatif ∆u n /u n observ´ e
entre la deuxi` eme ou troisi` eme colonne et la premi` ere colonne. On voit que cet
´ ecart augmente constamment pour atteindre environ 10
−3 sur u 24 . Pour le calcul
de u 25 , il se produit une v´ eritable catastrophe num´ erique : l’´ ecart relatif devient
voisin de 100% ! Il en r´ esulte que toutes les valeurs calcul´ ees ` a partir de u 25 sont
certainement non significatives pour une pr´ ecision des calculs de 10
−9 .
Pour comprendre ce ph´ enom` ene, il suffit d’observer qu’une erreur ∆x sur la variable
x entraˆ ıne une erreur ∆f (x) sur f (x), approximativement donn´ ee par
∆f (x) = |f
(x)| ∆x.
Ceci se voit bien sˆ ur en approximant f (x + ∆x) − f (x) par sa diff´ erentielle f
(x)∆x,
lorsque f est d´ erivable au point x. Le coefficient d’amplification de l’erreur absolue
est donc donn´ e par la valeur absolue de la d´ eriv´ ee |f
(x)| ; ce coefficient peut ˆ etre
parfois assez grand. Souvent dans les calculs num´ eriques (et ici en particulier), il
est plus pertinent de consid´ erer les erreurs relatives. La formule
∆f (x)
|f (x)|
=
|f
(x)||x|
|f (x)|
∆x
|x|
montre que le coefficient d’amplification de l’erreur relative est |f
(x)||x|/|f (x)|.
Dans le cas f (x) = ln (x) qui nous int´ eresse, ce coefficient vaut 1/| ln x| ; il devient
tr` es grand lorsque x est proche de 1, comme c’est le cas par exemple pour u 24 .
º ÈÖÓÓÐ ÑÑ×
4.1. Soit x ≥ 0 ; on note F (x) =
2
√
π
x
0
e
−t
2 dt.
(a) Encadrer F (x) par deux entiers cons´ ecutifs.
(b) En rempla¸ cant e
−t
2 par un d´ eveloppement en s´ erie enti` ere de x, exprimer F (x)
comme somme d’une s´ erie. On choisit x = 3 ; calculer les 10 premiers termes