I – Calculs num´ eriques approch´ es
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pour x ∈ [0, 1], on voit que la suite I n est elle-mˆ eme d´ ecroissante. Comme
10 ≤ 10 + x ≤ 11, on a de plus
1
11(n + 1)
≤ I n ≤
1
10(n + 1)
.
L’approximation I n
1
11(n+1) donne une erreur absolue ≤
1
110(n+1) et donc une
erreur relative
∆In
In
≤
1
10 . Ceci donne l’ordre de grandeur mais n’est pas tr` es
satisfaisant. L’id´ ee est alors de renverser la r´ ecurrence en posant
I n−1 =
1
10
1
n
− I n
.
En n´ egligeant l’erreur sur
1
n , on a donc cette fois ∆I n−1
1
10 ∆I n , estimation qui
va dans le bon sens. Si l’on part de I 46
1
11.47 , on obtiendra pour I 36 une erreur
relative sans doute meilleure que 10
−10 .
Exercice – Montrer que 0 ≤ I n − I n+1 ≤
1
10(n+1)(n+2) , et en d´ eduire `
a partir de
la formule exprimant I n en fonction de I n+1 que l’on a en fait l’estimation
1
11(n + 1)
≤ I n ≤
1
11(n + 1)
+
1
110(n + 1)(n + 2)
,
donc ∆I n
1
11(n+1) avec erreur relative ≤
1
10(n+2) .
On voit donc le rˆ ole fondamental jou´ e par le coefficient d’amplification de l’erreur,
10 dans le premier cas, 1/10 dans le second. En g´ en´ eral, si on a un coefficient
d’amplification A > 1, il est imp´ eratif de limiter le nombre n d’´ etapes en sorte que
A
n ε reste tr` es inf´ erieur ` a 1, si ε est la pr´ ecision relative des calculs.
¿º¾º ÐÐÙÐ× Ø ÖÖØØØ×
Soit `
a calculer une suite (u n ) d´ efinie par sa valeur initiale u 0 et par la relation de
r´ ecurrence
u n+1 = f (u n ),
o` u f est une fonction donn´ ee. On a donc u n = f
n (u 0 ) o` u f
n = f ◦ f ◦ . . . ◦ f est la
n-i` eme it´ er´ ee de f . On consid` ere par exemple la suite (u n ) telle que
u 0 = 2,
u n+1 = | ln (u n )|,
dont on cherche `
a ´ evaluer le terme u 30 . Un calcul effectu´ e ` a la pr´ ecision 10
−9 sur
un ordinateur nous a donn´ e u 30 0, 880833175.
A la lumi` ere de l’exemple pr´ ec´ edent, il est n´ eanmoins l´ egitime de se demander si
ce calcul est bien significatif, compte tenu de la pr´ esence des erreurs d’arrondi. En
partant de valeurs de u 0 tr` es voisines de 2, on obtient en fait les r´ esultats suivants
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pour x ∈ [0, 1], on voit que la suite I n est elle-mˆ eme d´ ecroissante. Comme
10 ≤ 10 + x ≤ 11, on a de plus
1
11(n + 1)
≤ I n ≤
1
10(n + 1)
.
L’approximation I n
1
11(n+1) donne une erreur absolue ≤
1
110(n+1) et donc une
erreur relative
∆In
In
≤
1
10 . Ceci donne l’ordre de grandeur mais n’est pas tr` es
satisfaisant. L’id´ ee est alors de renverser la r´ ecurrence en posant
I n−1 =
1
10
1
n
− I n
.
En n´ egligeant l’erreur sur
1
n , on a donc cette fois ∆I n−1
1
10 ∆I n , estimation qui
va dans le bon sens. Si l’on part de I 46
1
11.47 , on obtiendra pour I 36 une erreur
relative sans doute meilleure que 10
−10 .
Exercice – Montrer que 0 ≤ I n − I n+1 ≤
1
10(n+1)(n+2) , et en d´ eduire `
a partir de
la formule exprimant I n en fonction de I n+1 que l’on a en fait l’estimation
1
11(n + 1)
≤ I n ≤
1
11(n + 1)
+
1
110(n + 1)(n + 2)
,
donc ∆I n
1
11(n+1) avec erreur relative ≤
1
10(n+2) .
On voit donc le rˆ ole fondamental jou´ e par le coefficient d’amplification de l’erreur,
10 dans le premier cas, 1/10 dans le second. En g´ en´ eral, si on a un coefficient
d’amplification A > 1, il est imp´ eratif de limiter le nombre n d’´ etapes en sorte que
A
n ε reste tr` es inf´ erieur ` a 1, si ε est la pr´ ecision relative des calculs.
¿º¾º ÐÐÙÐ× Ø ÖÖØØØ×
Soit `
a calculer une suite (u n ) d´ efinie par sa valeur initiale u 0 et par la relation de
r´ ecurrence
u n+1 = f (u n ),
o` u f est une fonction donn´ ee. On a donc u n = f
n (u 0 ) o` u f
n = f ◦ f ◦ . . . ◦ f est la
n-i` eme it´ er´ ee de f . On consid` ere par exemple la suite (u n ) telle que
u 0 = 2,
u n+1 = | ln (u n )|,
dont on cherche `
a ´ evaluer le terme u 30 . Un calcul effectu´ e ` a la pr´ ecision 10
−9 sur
un ordinateur nous a donn´ e u 30 0, 880833175.
A la lumi` ere de l’exemple pr´ ec´ edent, il est n´ eanmoins l´ egitime de se demander si
ce calcul est bien significatif, compte tenu de la pr´ esence des erreurs d’arrondi. En
partant de valeurs de u 0 tr` es voisines de 2, on obtient en fait les r´ esultats suivants