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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
On obtiendra une m´ ethode plus efficace encore en observant qu’on peut ´ evaluer
cos α dans (∗∗) par la formule cos α =
sin 2α
2 sin α . Ceci donne
sin
α
2
= sin α
sin α
2 sin α + sin 2α
, d’o` u
x k+1 = x k
2x k
x k + x k−1
.
Deux valeurs d’initialisation sont alors requises pour d´ emarrer, par exemple x 1 = 2
et x 2 = 2
√
2.
¿º ÈÈ ÒÓÑ ÒÒ× ³³Ò×ØÐÐØ ÒÙÑ ÖÖÕÙÙ
Il s’agit de ph´ enom` enes d’amplification des erreurs d’arrondi. Une telle amplification
se produit assez fr´ equemment dans le cas de calculs r´ ecurrents ou it´ eratifs.
¿º½º × ³ÙÒ ÐÐÙÐ Ö ÙÖÖÖÒØ
Supposons `
a titre d’exemple qu’on cherche `
a ´ evaluer num´ eriquement l’int´ egrale
I n =
1
0
x
n
10 + x
,
n∈ N.
Un calcul imm´ ediat donne
I 0 =
1
0
dx
10 + x
=
ln (10 + x)
1
0
= ln
11
10
,
I n =
1
0
x
10 + x
· x
n−1 dx =
1
0
1 −
10
10 + x
x
n−1 dx
=
1
0
x
n−1 dx − 10
1
0
x
n−1
10 + x
dx =
1
n
− 10 I n−1 .
Ceci permet de calculer I n par r´ ecurrence avec
I 0 = ln
11
10
I n =
1
n − 10 I n−1 .
Ce probl` eme apparemment bien pos´ e math´ ematiquement conduit num´ eriquement
` a des r´ esultats catastrophiques. On a en effet
∆I n 10 ∆I n−1 ,
mˆ eme si on n´ eglige l’erreur d’arrondi sur 1/n. L’erreur sur I n explose donc
exponentiellement, l’erreur initiale sur I 0 ´ etant multipli´ ee par 10
n ` a l’´ etape n.
Comment faire alors pour calculer par exemple I 36 ? La suite x
n ´ etant d´ ecroissante