I – Calculs num´ eriques approch´ es
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R = 1
π/n
Pour ´ evaluer P n , on utilise une m´ ethode de dichotomie permettant de calculer par
r´ ecurrence
x k = P 2 k = 2
k sin
π
2 k .
Si α est un angle compris entre 0 et
π
2 on a
sin
α
2
=
1
2
(1 − cos α) =
1
2
(1 −
1 − sin
2 α).
(∗)
En substituant α = π/2
k , on en d´ eduit les formules
x k+1 = 2
k
2(1 −
1 − (x k /2 k ) 2 )
x 1 = 2,
et d’apr` es ce qu’on a dit plus haut lim
k→+∞
x k = π.
Ce n’est pourtant pas du tout ce qu’on va observer sur machine ! D` es que (x k /2
k )
2
sera inf´ erieur ` a la pr´ ecision relative des calculs, l’ordinateur va donner
1 − (x k /2 k ) 2 = 1 d’o` u x k+1 = 0.
Pour ´ eviter cette difficult´ e, il suffit de remplacer (∗) par
sin
α
2
=
1
2
1 − cos 2 α
1 + cos α
=
sin α
2(1 + cos α)
(∗∗)
d’o` u
sin
α
2
=
sin α
2(1 +
1 − sin
2 α)
.
On obtient alors la formule de r´ ecurrence
x k+1 =
2x k
2(1 +
1 − (x k /2 k ) 2 )
qui ´ evite le ph´ enom` ene de compensation pr´ ec´ edent, de sorte que le calcul des x k
peut ˆ etre pouss´ e beaucoup plus loin.