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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
¾º¾º ÜÜÑÔÐÐ ÐÐÙÐ ÔÔÖÓÓÓ e
−10
Supposons qu’on utilise pour cela la s´ erie
e
−10
n
k=0
(−1)
k 10
k
k!
,
les calculs ´ etant toujours effectu´ es avec 10 chiffres significatifs. Le terme g´ en´ eral
|u k | = 10
k /k! est tel que
|u k |
|u k−1 |
=
10
k
≥ 1 d` es que k ≤ 10.
On a donc 2 termes de valeur absolue maximale
|u 9 | = |u 10 | =
10
10
10!
2, 755 · 10
3
tandis que e
−10
4, 5 · 10
−5 . Comparons u 10 et e
−10 :
u 10 :
2 7 5 5, · · · · · ·
e
−10 :
0, 0 0 0 0 4 5
Ceci signifie qu’au moins 8 chiffres significatifs vont ˆ etre perdus par compensation
des termes u k de signes oppos´ es. Un rem` ede simple consiste ` a utiliser la relation
e
−10 = 1/e
10
avec e
10
n
k=0
10
k
k!
.
On essaiera dans la mesure du possible d’´ eviter les sommations dans lesquelles des
termes de signes oppos´ es se compensent.
¾º¿º ÜÜÑÔÐÐ ÐÐÙÐ ÔÔÖÓÓÓ π ÔÖ ÐÐ× ÔÓÐÝÝ ÓÒÒ× Ò××ÖÖØ×
Soit P n le demi-p´ erim` etre du polygone r´ egulier `
a n cˆ ot´ es inscrit dans un cercle de
rayon 1.
Le cˆ ot´ e de ce polygone vaut 2 · R sin π/n = 2 sin π/n, d’o` u
P n = n sin
π
n
,
P n = π −
π
3
6n 2 + o
1
n 3
.
On obtient donc une approximation de π avec une pr´ ecision de l’ordre de 6/n
2 .