I – Calculs num´ eriques approch´ es
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Hypoth` eses
(1) Les erreurs α k sont des variables al´ eatoires globalement ind´ ependantes les unes
des autres (lorsque les u k sont choisis al´ eatoirement).
(2) L’esp´ erance math´ ematique E(α k ) est nulle, ce qui signifie que les erreurs
d’arrondi n’ont aucune tendance `
a se faire par exc` es ou par d´ efaut.
L’hypoth` ese (2) entraˆ ıne E(∆s n ) = 0 tandis que l’hypoth` ese (1) donne
var(∆s n ) = var(α 1 ) + . . . + var(α n ).
Comme E(α k ) = 0 et |α k | ≤ εS, on a var(α k ) ≤ ε
2 S
2 , d’o` u
σ(∆s n ) =
var(∆s n ) ≤
√
nεS
L’erreur quadratique moyenne croˆ ıt seulement dans ce cas comme
√
n. D’apr` es
l’in´ egalit´ e de Bienaym´ e-Tchebychev on a :
P (|∆s n | ≥ α σ(∆s n )) ≤ α
−2 .
La probabilit´ e que l’erreur d´ epasse 10
√
nεS est donc inf´ erieure ` a 1%.
¾º ÈÈ ÒÓÑ ÒÒ× ÓÑÔÔÒ××ØØÓÒ
Les ph´ enom` enes de compensation se produisent lorsqu’on tente d’effectuer des
soustractions de valeurs tr` es voisines. Ils peuvent conduire `
a des pertes importantes
de pr´ ecision.
Les exemples suivants illustrent les difficult´ es pouvant se pr´ esenter et les rem` edes ` a
apporter dans chaque cas.
¾º½º ÜÜÑÔÐÐ Ö ×ÓÐÙØØÓÒ Ð³ ÕÙÙØØÓÒ x
2
− 1634x + 2 = 0
Supposons que les calculs soient effectu´ es avec 10 chiffres significatifs. Les formules
habituelles donnent alors
∆
= 667 487,
√
∆ 816, 9987760
x 1 = 817 +
√
∆ 1633, 998776,
x 2 = 817 −
√
∆ 0, 0012240.
On voit donc qu’on a une perte de 5 chiffres significatifs sur x 2 si l’on effectue la
soustraction telle qu’elle se pr´ esente naturellement ! Ici, le rem` ede est simple : il
suffit d’observer que x 1 x 2 = 2, d’o` u
x 2 =
2
x 1
1, 223991125 · 10
−3 .
C’est donc l’algorithme num´ erique utilis´ e qui doit ˆ etre modifi´ e.