ÔÔØÖÖ Á Á
ÔÔÖÓÜÜÑÑØØÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑÑÑÐÐ
× ÓÒÒØØÓÒ× ÒÙÑ
ÖÖÕÙÙ×
Les fonctions les plus faciles ` a ´ evaluer num´ eriquement sont les fonctions polynˆ omes.
Il est donc important de savoir approximer une fonction arbitraire par des
polynˆ omes. Dans ce cadre, l’un des outils de base est la m´ ethode d’interpolation de
Lagrange.
Notations – Dans toute la suite, on d´ esignera par P n l’espace vectoriel des
fonctions polynˆ omes sur R ` a coefficients r´ eels, de degr´ e inf´ erieur ou ´ egal ` a n. On a
donc dim P n = n + 1.
Par ailleurs, si f est une fonction d´ efinie sur un intervalle [a, b] ⊂ R ` a valeurs dans
R ou C, la norme uniforme de f sur [a, b] sera not´ ee
f [a,b] = sup
x∈[a,b]
|f (x)|
o` u mˆ eme simplement f s’il n’y a pas d’ambigu¨ ıt´ e. Enfin C([a, b]) d´ esignera l’espace
des fonctions continues sur [a, b] `
a valeurs dans R.
½º Å ØØÓÓÓ ³³ÒØØÖÔÓÐÐØØÓÒ ÄÄÖÖÒÒÒ
½º½º ÜÜ×ØØÒÒÒ Ø ÙÒÒÒÒØ Ù ÔÓÐÝÒ ÓÑÑ ³³ÒØØÖÔÓÐÐØØÓÒ
Soit f : [a, b] → R une fonction continue. On se donne n + 1 points x 0 , x 1 , . . . , x n
dans [a, b], deux `
a deux distincts, non n´ ecessairement rang´ es par ordre croissant.
Probl` eme – Existe-t-il un polynˆ ome p n ∈ P n tel que p n (x i ) = f (x i ),
∀i = 0, 1, . . . , n ?
Un tel polynˆ ome sera appel´ e polynˆ ome d’interpolation (de Lagrange) de f aux points
x 0 , x 1 , . . . , x n . Posons
l i (x) =
j =i
(x − x j )
(x i − x j )
, 0 ≤ i ≤ n,
ÔÔÖÓÜÜÑÑØØÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑÑÑÐÐ
× ÓÒÒØØÓÒ× ÒÙÑ
ÖÖÕÙÙ×
Les fonctions les plus faciles ` a ´ evaluer num´ eriquement sont les fonctions polynˆ omes.
Il est donc important de savoir approximer une fonction arbitraire par des
polynˆ omes. Dans ce cadre, l’un des outils de base est la m´ ethode d’interpolation de
Lagrange.
Notations – Dans toute la suite, on d´ esignera par P n l’espace vectoriel des
fonctions polynˆ omes sur R ` a coefficients r´ eels, de degr´ e inf´ erieur ou ´ egal ` a n. On a
donc dim P n = n + 1.
Par ailleurs, si f est une fonction d´ efinie sur un intervalle [a, b] ⊂ R ` a valeurs dans
R ou C, la norme uniforme de f sur [a, b] sera not´ ee
f [a,b] = sup
x∈[a,b]
|f (x)|
o` u mˆ eme simplement f s’il n’y a pas d’ambigu¨ ıt´ e. Enfin C([a, b]) d´ esignera l’espace
des fonctions continues sur [a, b] `
a valeurs dans R.
½º Å ØØÓÓÓ ³³ÒØØÖÔÓÐÐØØÓÒ ÄÄÖÖÒÒÒ
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Soit f : [a, b] → R une fonction continue. On se donne n + 1 points x 0 , x 1 , . . . , x n
dans [a, b], deux `
a deux distincts, non n´ ecessairement rang´ es par ordre croissant.
Probl` eme – Existe-t-il un polynˆ ome p n ∈ P n tel que p n (x i ) = f (x i ),
∀i = 0, 1, . . . , n ?
Un tel polynˆ ome sera appel´ e polynˆ ome d’interpolation (de Lagrange) de f aux points
x 0 , x 1 , . . . , x n . Posons
l i (x) =
j =i
(x − x j )
(x i − x j )
, 0 ≤ i ≤ n,