VII – Syst` emes diff´ erentiels lin´ eaires
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On a donc R(t, t 0 ) · V = Y (t), o` u Y est la solution telle que Y (t 0 ) = V . Comme
R(t, t 0 ) est un isomorphisme K
m
→ K
m , il sera identifi´ e ` a la matrice inversible qui
lui correspond canoniquement dans M m (K).
D´ efinition – R(t, t 0 ) s’appelle la r´ esolvante du syst` eme lin´ eaire (E 0 ).
Pour tout vecteur V ∈ K
m , on a avec les notations ci-dessus
d
dt
R(t, t 0 )
· V =
d
dt
R(t, t 0 ) · V )
=
dY
dt
= A(t)Y (t) = A(t)R(t, t 0 ) · V.
On en d´ eduit donc
d
dt R(t, t 0 ) = A(t)R(t, t 0 ).
Propri´ et´ es de la r´ esolvante
(i) ∀t ∈ I,
R(t, t) = I m
(matrice unit´ e m × m).
(ii) ∀(t 0 , t 1 , t 2 ) ∈ I
3 ,
R(t 2 , t 1 )R(t 1 , t 0 ) = R(t 2 , t 0 ).
(iii) R(t, t 0 ) est la solution dans M m (K) du syst` eme diff´ erentiel
dM
dt
= A(t)M (t)
o` u M (t) ∈ M m (K) v´ erifie la condition initiale M (t 0 ) = I m .
(i) et (ii) sont imm´ ediats ` a partir de la d´ efinition de R(t, t 0 ) et (iii) r´ esulte de ce qui
pr´ ec` ede. Retenons enfin que la solution du probl` eme de Cauchy
Y
= A(t)Y avec Y (t 0 ) = V 0
est donn´ ee par
Y (t) = R(t, t 0 ) · V 0 .
Remarque – Le syst` eme dM/dt = A(t)M (t) peut paraˆ ıtre plus compliqu´ e que
le syst` eme initial puisqu’on a m
2 ´ equations scalaires au lieu de m (on passe de
K
m ` a M m (K)). Il est n´ eanmoins parfois utile de consid´ erer ce syst` eme plutˆ ot que
l’´ equation initiale, parce que tous les objets sont dans M m (K) et qu’on peut exploiter
la structure d’alg` ebre de M m (K).
Exemple – Supposons que
A(t)A(u) = A(u)A(t) pour tous t, u ∈ I.
( ∗)
Alors
R(t, t 0 ) = exp
t
t0
A(u)du
.