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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Ceci conduit `
a r´ esoudre le syst` eme
α
1 (t) cos 2t + α
2 (t) sin 2t = 0
α
1 (t) · (−2 sin 2t) + α
2 (t) · (2 cos 2t) = tan t.
Le d´ eterminant du syst` eme ´ etant ´ egal ` a 2, on obtient

  
  
α
1 (t) = −
1
2
tan t sin 2t = − sin
2 t = −
1
2
(1 − cos 2t)
α
2 (t) =
1
2
tan t cos 2t =
1
2
tan t(2 cos
2 t − 1) = sin 2t −
1
2
tan t,

  
  
α 1 (t) = −
t
2
+
1
4
sin 2t
α 2 (t) = −
1
4
cos 2t +
1
2
ln (cos t),
d’o` u la solution particuli` ere
y(t) = −
t
2
cos 2t +
1
2
sin 2t ln (cos t).
La solution g´ en´ erale est donc
y(t) = −
t
2
cos 2t +
1
2
sin 2t ln (cos t) + α 1 cos 2t + α 2 sin 2t.
º ËÝ×Ø ÑÑ× ÖÖÒØØØÐ× ÐÐÒ ÖÖ×
ÓÓÓÓÓÓÓÓÒØ×
ÚÖÖÖÖÐÐ×
L’objet de ce paragraphe (avant tout th´ eorique) est de g´ en´ eraliser les r´ esultats du
§ 2 au cas des syst` emes lin´ eaires ` a coefficients variables.
º½º Ê ×ÓÐÚÒØØ ³ÙÒ ×Ý×Ø ÑÑ ÐÐÒ ÖÖ
Consid´ erons une ´ equation lin´ eaire sans second membre
(E 0 )
Y
= A(t)Y
o` u A : R ⊃ I → M m (K) est une matrice m × m sur K ` a coefficients continus.
Soit S l’ensemble des solutions maximales de (E 0 ). Pour tout t 0 ∈ I, on sait que
Φ t0 : S −→ K
m ,
Y −→ Y (t 0 )
est un isomorphisme K-lin´ eaire. Pour tout couple (t, t 0 ) ∈ I
2 , on d´ efinit
R(t, t 0 ) = Φ t ◦ Φ
−1
t0 : K
m
Φ
−1
t0
−→ S
Φ t
−→ K
m
V −→ Y −→ Y (t).