VII – Syst` emes diff´ erentiels lin´ eaires
209
Le syst` eme homog` ene (S 0 ) Y
= AY admet pour base de solutions les fonctions
V 1 =




v 1
v
1
. . .
v
(p−1)
1




V 2 =




v 2
v
2
. . .
v
(p−1)
2



 . . . V p =





v p
v
p
. . .
v
(p−1)
p





.
On cherche alors une solution particuli` ere de (S) sous la forme
Y (t) = α 1 (t)V 1 (t) + . . . + α p (t)V p (t).
Comme V
j = AV j , il vient
Y
(t) =
α j (t)V
j (t) +
α
j (t)V j (t)
= AY (t) +
α
j (t)V j (t).
Il suffit donc de choisir les α j tels que
α
j (t)V j (t) = B(t), c’est-` a-dire

    
    
α
1 (t)v 1 (t) + . . . + α
p (t)v p (t) = 0
. . .
α
1 (t)v
(p−2)
1
(t) + . . . + α
p (t)v
(p−2)
p
(t) = 0
α
1 (t)v
(p−1)
1
(t) + . . . + α
p (t)v
(p−1)
p
(t) =
1
ap b(t).
On obtient ainsi un syst` eme lin´ eaire de p ´ equations par rapport aux p inconnues
α
1 (t), . . . , α
p (t). Le d´ eterminant de ce syst` eme est non nul pour tout t ∈ R (les
vecteurs V 1 (t), . . . , V p (t) sont lin´ eairement ind´ ependants, car si une combinaison
lin´ eaire Y = β 1 V 1 + . . . + β p V p est telle que Y (t) = 0, alors Y ≡ 0 d’apr` es le
th´ eor` eme d’unicit´ e, donc β 1 = . . . = β p = 0).
La r´ esolution de ce syst` eme permet de calculer α
1 , . . . , α
p , puis α 1 , . . . , α p par
int´ egration, d’o` u la solution particuli` ere cherch´ ee :
y(t) = α 1 (t)v 1 (t) + . . . + α p (t)v p (t).
Exemple – (E) y
+ 4y = tan t, avec t ∈
−
π
2
,
π
2
.
• On commence par r´ esoudre l’´ equation sans second membre
(E 0 )
y
+ 4y = 0.
Le polynˆ ome caract´ eristique est P (λ) = λ
2 + 4, et poss` ede deux racines simples
2i et −2i. L’´ equation (E 0 ) admet pour base de solutions les fonctions t → e
2it ,
t → e
−2it , ou encore :
t → cos 2t, t → sin 2t.
• On cherche ensuite une solution particuli` ere de (E) en posant
y(t) = α 1 (t) cos 2t + α 2 (t) sin 2t.