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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
En appliquant l’op´ erateur Q
d
dt
` a la relation
α j,q t
q e
λj t = 0 on obtient alors
α 1,N Q
(N ) (λ 1 )e
λ1t = 0, ce qui est absurde puisque α 1,N = 0 et Q
(N ) (λ 1 ) = 0. Le
lemme est d´ emontr´ e. On peut donc ´ enoncer :
Th´ eor` eme – Lorsque le polynˆ ome caract´ eristique P (λ) a des racines complexes
λ 1 , . . . , λ s de multiplicit´ es respectives m 1 , . . . , m s , l’ensemble S des solutions est le
C-espace vectoriel de dimension p ayant pour base les fonctions
t → t
q e
λj t , 1 ≤ j ≤ s, 0 ≤ q ≤ m j − 1.
¿º¿º
ÕÙÙØØÓÒ× ÐÐÒ ÖÖ× ³ÓÖÖÖÖ p ÚÚÚ ×××ÓÒÒ ÑÑÑÑÖÖ
Soit `
a r´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle
(E)
a p y
(p) + . . . + a 1 y
+ a 0 y = b(t),
o` u b : I → C est une fonction continue donn´ ee. On commence par r´ esoudre
l’´ equation sans second membre
(E 0 )
a p y
(p) + . . . + a 1 y
+ a 0 y = 0.
Soit (v 1 , . . . , v p ) une base des solutions de (E 0 ). On cherche alors une solution
particuli` ere de (E).
Dans un certain nombre de cas, une solution simple peut ˆ etre trouv´ ee rapidement.
Par exemple, si b est un polynˆ ome de degr´ e d et si a 0 = 0, l’´ equation (E)
admet une solution polynomiale y de degr´ e d, que l’on peut rechercher par
identification des coefficients. Si b(t) = αe
λt et si λ n’est pas racine du polynˆ ome
caract´ eristique, l’´ equation admet pour solution (α/P (λ))e
λt . Si b est une fonction
exponentielle-polynˆ ome, (E) admet une solution du mˆ eme type (noter que les
fonctions trigonom´ etriques se ram` enent `
a ce cas).
En g´ en´ eral, le principe consiste `
a appliquer la m´ ethode de variation des constantes
au syst` eme diff´ erentiel (S) d’ordre 1 associ´ e `
a (E).
Si on pose y = y 0 , y
= y 1 , . . . , y
(p−1) = y p−1 , l’´ equation (E) ´ equivaut au syst` eme
(S)
y
0 = y 1
. . .
y
p−2 = y p−1
y
p−1 = −
1
ap (a 0 y 0 + a 1 y 1 + . . . + a p−1 y p−1 ) +
1
ap b(t).
Ce syst` eme lin´ eaire peut se r´ ecrire (S): Y
= AY + B(t) avec
Y =
y 0
. . .
y p−1
et B(t) =
0
. . .
0
1
ap b(t).
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
En appliquant l’op´ erateur Q
d
dt
` a la relation
α j,q t
q e
λj t = 0 on obtient alors
α 1,N Q
(N ) (λ 1 )e
λ1t = 0, ce qui est absurde puisque α 1,N = 0 et Q
(N ) (λ 1 ) = 0. Le
lemme est d´ emontr´ e. On peut donc ´ enoncer :
Th´ eor` eme – Lorsque le polynˆ ome caract´ eristique P (λ) a des racines complexes
λ 1 , . . . , λ s de multiplicit´ es respectives m 1 , . . . , m s , l’ensemble S des solutions est le
C-espace vectoriel de dimension p ayant pour base les fonctions
t → t
q e
λj t , 1 ≤ j ≤ s, 0 ≤ q ≤ m j − 1.
¿º¿º
ÕÙÙØØÓÒ× ÐÐÒ ÖÖ× ³ÓÖÖÖÖ p ÚÚÚ ×××ÓÒÒ ÑÑÑÑÖÖ
Soit `
a r´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle
(E)
a p y
(p) + . . . + a 1 y
+ a 0 y = b(t),
o` u b : I → C est une fonction continue donn´ ee. On commence par r´ esoudre
l’´ equation sans second membre
(E 0 )
a p y
(p) + . . . + a 1 y
+ a 0 y = 0.
Soit (v 1 , . . . , v p ) une base des solutions de (E 0 ). On cherche alors une solution
particuli` ere de (E).
Dans un certain nombre de cas, une solution simple peut ˆ etre trouv´ ee rapidement.
Par exemple, si b est un polynˆ ome de degr´ e d et si a 0 = 0, l’´ equation (E)
admet une solution polynomiale y de degr´ e d, que l’on peut rechercher par
identification des coefficients. Si b(t) = αe
λt et si λ n’est pas racine du polynˆ ome
caract´ eristique, l’´ equation admet pour solution (α/P (λ))e
λt . Si b est une fonction
exponentielle-polynˆ ome, (E) admet une solution du mˆ eme type (noter que les
fonctions trigonom´ etriques se ram` enent `
a ce cas).
En g´ en´ eral, le principe consiste `
a appliquer la m´ ethode de variation des constantes
au syst` eme diff´ erentiel (S) d’ordre 1 associ´ e `
a (E).
Si on pose y = y 0 , y
= y 1 , . . . , y
(p−1) = y p−1 , l’´ equation (E) ´ equivaut au syst` eme
(S)
y
0 = y 1
. . .
y
p−2 = y p−1
y
p−1 = −
1
ap (a 0 y 0 + a 1 y 1 + . . . + a p−1 y p−1 ) +
1
ap b(t).
Ce syst` eme lin´ eaire peut se r´ ecrire (S): Y
= AY + B(t) avec
Y =
y 0
. . .
y p−1
et B(t) =
0
. . .
0
1
ap b(t).