VII – Syst` emes diff´ erentiels lin´ eaires
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Comme les d´ eriv´ ees partielles
d
dt et
d
dλ commutent d’apr` es le th´ eor` eme de Schwarz,
on obtient
P
d
dt
(t
q e
λt ) = P
d
dt
d
q
dλ q e
λt
=
d
q
dλ q
P
d
dt
e
λt
=
d
q
dλ q
P (λ)e
λt
,
d’o` u, grˆ ace ` a la formule de Leibnitz :
P
d
dt
(t
q e
λt ) =
q
i=0
C
i
q P
(i) (λ)e
λt .
Comme λ j est racine de multiplicit´ e m j , on a P
(i) (λ j ) = 0 pour 0 ≤ i ≤ m j − 1, et
P
(mj ) (λ j ) = 0. On en d´ eduit
P
d
dt
t
q e
λj t
= 0,
0 ≤ q ≤ m j − 1.
L’´ equation (E) admet donc les solutions
y(t) = t
q e
λj t ,
0 ≤ q ≤ m j−1 ,
1 ≤ j ≤ s
soit au total m 1 + . . . + m s = p solutions.
Lemme – Si λ 1 , . . . , λ s ∈ C sont des nombres complexes deux `
a deux distincts,
alors les fonctions
y j,q (t) = t
q e
λj t , 1 ≤ j ≤ s, q ∈ N
sont lin´ eairement ind´ ependantes.
D´ emonstration. Consid´ erons une combinaison lin´ eaire finie
α j,q y j,q = 0, α j,q ∈ C.
Si les coefficients sont non tous nuls, soit N le maximum des entiers q tels qu’il
existe j avec α j,q = 0. Supposons par exemple α 1,N = 0. On pose alors
Q(λ) = (λ − λ 1 )
N (λ − λ 2 )
N +1 . . . (λ − λ s )
N +1
Il vient Q
(i) (λ j ) = 0 pour j ≥ 2 et 0 ≤ i ≤ N , tandis que Q
(i) (λ 1 ) = 0 pour
0 ≤ i < N et Q
(N ) (λ 1 ) = 0. On en d´ eduit
Q
d
dt
(t
q e
λj t ) =
q
i=0
C
i
q Q
(i) (λ j )t
q−i e
λj t
= 0 pour 0 ≤ q ≤ N, 1 ≤ j ≤ s,
sauf si q = N , j = 1, auquel cas
Q
d
dt
(t
N e
λ1t ) = Q
(N ) (λ 1 )e
λ1t .