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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Grˆ ace au § 1.1, on peut donc ´ enoncer :
Th´ eor` eme – L’ensemble S des solutions globales de (E) est un K-espace vectoriel
de dimension p.
Pla¸ cons-nous maintenant sur le corps C (si K = R, les solutions r´ eelles s’obtiennent
simplement en prenant la partie r´ eelle et la partie imaginaire des solutions complexes). Cherchons les solutions exponentielles de la forme
y(t) = e
λt , λ ∈ C.
Comme y
(j) (t) = λ
j e
λt , on voit que y est solution de (E) si et seulement si λ est
racine du polynˆ ome caract´ eristique
P (λ) = a p λ
p + . . . + a 1 λ + a 0 .
¿º½º × Ó Ù P ØÓÙØØ× ××× ÖÖÒÒ× ××ÑÔÐÐ×
Si P poss` ede p racines distinctes λ 1 , . . . , λ p , on obtient p solutions distinctes
t → e
λj t , 1 ≤ j ≤ p.
On verra plus loin que ces solutions sont lin´ eairement ind´ ependantes sur C.
L’ensemble des solutions est donc l’espace vectoriel de dimension p des fonctions
y(t) = α 1 e
λ1t + . . . + α p e
λpt , α j ∈ C.
¿º¾º × Ó Ù P × ÖÖÒÒ× ÑÙÐØØÔÐÐ×
On peut alors ´ ecrire
P (λ) = a p
s
j=1
(λ − λ j )
mj
o` u m j est la multiplicit´ e de la racine λ j , avec
m 1 + . . . + m s = p.
Consid´ erons l’op´ erateur diff´ erentiel
P
d
dt
=
p
i=0
a i
d
i
dt i .
On voit que l’´ equation diff´ erentielle ´ etudi´ ee peut se r´ ecrire
(E)
P
d
dt
y = 0
et on a d’autre part la formule
P
d
dt
e
λt = P (λ)e
λt ,
∀λ ∈ C.