204
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
On observe pour le calcul que
− →
V ∧
− →
B = P B (
− →
V ) ∧
− →
B . On en d´ eduit alors facilement
A
2p (
− →
V ) = (−1)
p
q
m
2p
B
2p P B (
− →
V ), p ≥ 1
A
2p+1 (
− →
V ) = (−1)
p
q
m
2p+1
B
2p − →
V ∧
− →
B ,
cette derni` ere relation ´ etant encore valable pour p = 0. En notant ω =
q
m B, on en
d´ eduit
e
tA (
− →
V ) =
− →
V +
+∞
p=1
(−1)
p ω
2p t
2p
(2p)!
P B (
− →
V ) +
+∞
p=0
(−1)
p ω
2p+1 t
2p+1
(2p + 1)!
1
B
− →
V ∧
− →
B
=
− →
V − P B (
− →
V ) + cos ωt P B (
− →
V ) + sin ωt
1
B
− →
V ∧
− →
B .
En l’absence de champ ´ electrique, les ´ equations du mouvement sont donn´ ees par
− →
V = Q B (
− →
V 0 ) + cos ωt P B (
− →
V 0 ) + sin ωt
1
B
− →
V 0 ∧
− →
B
− −−→
M 0 M = tQ B (
− →
V 0 ) +
1
w
sin ωt P B (
− →
V 0 ) +
1 − cos ωt
ωB
− →
V 0 ∧
− →
B
o` u M 0 ,
− →
V 0 d´ esignent la position et la vitesse en t = 0 et Q B la projection orthogonale
sur la droite R ·
− →
B . Il est facile de voir qu’il s’agit d’un mouvement h´ elico¨ ıdal
uniforme de pulsation ω, trac´ e sur un cylindre d’axe parall` ele ` a
− →
B et de rayon
R = P B (
− →
V 0 )/ω.
En pr´ esence d’un champ ´ electrique
− →
E , le calcul est ais´ e si
− →
E est parall` ele ` a
− →
B . On
a donc dans ce cas une solution particuli` ere ´ evidente
− →
V = t
q
m
− →
E , d’o` u les lois
g´ en´ erales des vitesses et du mouvement :
− →
V = Q B (
− →
V 0 ) + t
q
m
− →
E + cos ωt P B (
− →
V 0 ) + sin ωt
1
B
− →
V 0 ∧
− →
B ,
− −−→
M 0 M =
tQ B (
− →
V 0 ) + t
2 q
2m
− →
E
+
1
ω
sin ωt P B (
− →
V 0 ) +
1 − cos ωt
ωB
− →
V 0 ∧
− →
B .
Le mouvement est encore trac´ e sur un cylindre `
a base circulaire et sa pulsation est
constante, mais le mouvement est acc´ el´ er´ e dans la direction de l’axe.
Dans le cas g´ en´ eral, on d´ ecompose
− →
E =
− →
E // +
− →
E ⊥ en ses composantes parall` eles et
orthogonales `
a
− →
B , et on observe qu’il existe un vecteur
− →
U orthogonal `
a
− →
B et
− →
E ⊥ ,
tel que
− →
U ∧
− →
B =
− →
E ⊥ . L’´ equation diff´ erentielle devient
d
− →
V
dt
=
q
m
(
− →
V +
− →
V ) ∧
− →
B +
q
m
− →
E //
de sorte que
− →
V +
− →
U satisfait l’´ equation diff´ erentielle correspondant `
a un champ
´ electrique parall` ele ` a
− →
B . En substituant
− →
V +
− →
U ` a
− →
V et
− →
V 0 +
− →
U ` a
− →
V 0 dans les
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
On observe pour le calcul que
− →
V ∧
− →
B = P B (
− →
V ) ∧
− →
B . On en d´ eduit alors facilement
A
2p (
− →
V ) = (−1)
p
q
m
2p
B
2p P B (
− →
V ), p ≥ 1
A
2p+1 (
− →
V ) = (−1)
p
q
m
2p+1
B
2p − →
V ∧
− →
B ,
cette derni` ere relation ´ etant encore valable pour p = 0. En notant ω =
q
m B, on en
d´ eduit
e
tA (
− →
V ) =
− →
V +
+∞
p=1
(−1)
p ω
2p t
2p
(2p)!
P B (
− →
V ) +
+∞
p=0
(−1)
p ω
2p+1 t
2p+1
(2p + 1)!
1
B
− →
V ∧
− →
B
=
− →
V − P B (
− →
V ) + cos ωt P B (
− →
V ) + sin ωt
1
B
− →
V ∧
− →
B .
En l’absence de champ ´ electrique, les ´ equations du mouvement sont donn´ ees par
− →
V = Q B (
− →
V 0 ) + cos ωt P B (
− →
V 0 ) + sin ωt
1
B
− →
V 0 ∧
− →
B
− −−→
M 0 M = tQ B (
− →
V 0 ) +
1
w
sin ωt P B (
− →
V 0 ) +
1 − cos ωt
ωB
− →
V 0 ∧
− →
B
o` u M 0 ,
− →
V 0 d´ esignent la position et la vitesse en t = 0 et Q B la projection orthogonale
sur la droite R ·
− →
B . Il est facile de voir qu’il s’agit d’un mouvement h´ elico¨ ıdal
uniforme de pulsation ω, trac´ e sur un cylindre d’axe parall` ele ` a
− →
B et de rayon
R = P B (
− →
V 0 )/ω.
En pr´ esence d’un champ ´ electrique
− →
E , le calcul est ais´ e si
− →
E est parall` ele ` a
− →
B . On
a donc dans ce cas une solution particuli` ere ´ evidente
− →
V = t
q
m
− →
E , d’o` u les lois
g´ en´ erales des vitesses et du mouvement :
− →
V = Q B (
− →
V 0 ) + t
q
m
− →
E + cos ωt P B (
− →
V 0 ) + sin ωt
1
B
− →
V 0 ∧
− →
B ,
− −−→
M 0 M =
tQ B (
− →
V 0 ) + t
2 q
2m
− →
E
+
1
ω
sin ωt P B (
− →
V 0 ) +
1 − cos ωt
ωB
− →
V 0 ∧
− →
B .
Le mouvement est encore trac´ e sur un cylindre `
a base circulaire et sa pulsation est
constante, mais le mouvement est acc´ el´ er´ e dans la direction de l’axe.
Dans le cas g´ en´ eral, on d´ ecompose
− →
E =
− →
E // +
− →
E ⊥ en ses composantes parall` eles et
orthogonales `
a
− →
B , et on observe qu’il existe un vecteur
− →
U orthogonal `
a
− →
B et
− →
E ⊥ ,
tel que
− →
U ∧
− →
B =
− →
E ⊥ . L’´ equation diff´ erentielle devient
d
− →
V
dt
=
q
m
(
− →
V +
− →
V ) ∧
− →
B +
q
m
− →
E //
de sorte que
− →
V +
− →
U satisfait l’´ equation diff´ erentielle correspondant `
a un champ
´ electrique parall` ele ` a
− →
B . En substituant
− →
V +
− →
U ` a
− →
V et
− →
V 0 +
− →
U ` a
− →
V 0 dans les