VII – Syst` emes diff´ erentiels lin´ eaires
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Il suffit donc de choisir V telle que e
tA
· V
(t) = B(t), soit par exemple
V (t) =
t
t0
e
−uA B(u)du, t 0 ∈ I.
On obtient ainsi la solution particuli` ere
Y (t) = e
tA
t
t0
e
−uA B(u)du =
t
t0
e
(t−u)A B(u)du,
qui est la solution telle que Y (t 0 ) = 0. La solution g´ en´ erale du probl` eme de Cauchy
telle que Y (t 0 ) = V 0 est donc
Y (t) = e
(t−t0)A
· V 0 +
t
t0
e
(t−u)A B(u)du.
Exemple – Une particule de masse m et de charge ´ electrique q se d´ eplace dans
R
3 sous l’action d’un champ magn´ etique
− →
B et d’un champ ´ electrique
− →
E uniformes
et ind´ ependants du temps. Quelle est la trajectoire de la particule ?
Si
− →
V et − → γ d´ esignent respectivement la vitesse et l’acc´ el´ eration, la loi de Lorentz et
le principe fondamental de la dynamique donnent l’´ equation
− →
F = m − → γ = q
− →
V ∧
− →
B + q
− →
E ,
d’o` u
− → γ =
d
− →
V
dt
=
q
m
− →
V ∧
− →
B +
q
m
− →
E .
Il s’agit d’un syst` eme lin´ eaire o` u la matrice A (` a coefficients constants) est la matrice
de l’application lin´ eaire
− →
V →
q
m
− →
V ∧
− →
B . On confondra dans la suite A avec cette
application lin´ eaire. Un calcul simple montre que
A
2 (
− →
V ) =
q
m
2
(
− →
V ∧
− →
B ) ∧
− →
B = −
q
m
2
B
2 P B (
− →
V )
o` u B =
− →
B et o` u P B d´ esigne le projection orthogonale sur la plan vectoriel de
vecteur normal
− →
B . Le sch´ ema est le suivant :
− →
V ∧
− →
B
− →
V
− →
B
P B (
− →
V )
Q B (
− →
V )
(
− →
V ∧
− →
B ) ∧
− →
B