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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
D´ emonstration. On a Y (t 0 ) = e
0
· V 0 = IV 0 = V 0 .
D’autre part, la s´ erie enti` ere
e
tA =
+∞
n=0
1
n!
t
n A
n
est de rayon de convergence +∞. On peut donc d´ eriver terme ` a terme pour tout
t ∈ R :
d
dt
(e
tA ) =
+∞
n=1
1
(n − 1)!
t
n−1 A
n =
+∞
p=0
1
p!
t
p A
p+1 ,
d
dt
(e
tA ) = A · e
tA = e
tA
· A.
Par cons´ equent, on a bien
dY
dt
=
d
dt
e
(t−t0)A
· V 0
= Ae
(t−t0)A
· V 0 = AY (t).
En prenant t 0 = 0, on voit que la solution g´ en´ erale est donn´ ee par Y (t) = e
tA
· V
avec V ∈ K
m .
Le calcul de e
tA se ram` ene au cas d’un bloc triangulaire B = λI + N ∈ M p (C).
Dans ce cas on a e
tB = e
λtI e
tN = e
λt e
tN , avec
e
tN =
p−1
n=0
t
n
n!
N
n =
1
Q 12 (t) . . . Q 1p (t)
1 Q 23 (t)
. . .
. . .
. . .
1
Q p−1 p (t)
0
1
o` u Q ij (t) est un polynˆ ome de degr´ e ≤ j − i, avec Q ij (0) = 0. Les composantes de
Y (t) sont donc toujours des fonctions exponentielles-polynˆ omes
1≤j≤s P j (t)e
λj t
o` u λ 1 , . . . , λ s sont les valeurs propres complexes de A (mˆ eme si K = R).
¾ººº ËÓÐÙØØÓÒ Ò ÖÖÐÐ
dY
dt
= AY + B(t)
Si aucune solution ´ evidente n’apparaˆ ıt, on peut utiliser la m´ ethode de variation des
constantes, c’est-` a-dire qu’on cherche une solution particuli` ere sous la forme
Y (t) = e
tA
· V (t)
o` u V est suppos´ ee diff´ erentiable. Il vient
Y
(t) = Ae
tA
· V (t) + e
tA
· V
(t)
= AY (t) + e
tA
· V
(t).
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
D´ emonstration. On a Y (t 0 ) = e
0
· V 0 = IV 0 = V 0 .
D’autre part, la s´ erie enti` ere
e
tA =
+∞
n=0
1
n!
t
n A
n
est de rayon de convergence +∞. On peut donc d´ eriver terme ` a terme pour tout
t ∈ R :
d
dt
(e
tA ) =
+∞
n=1
1
(n − 1)!
t
n−1 A
n =
+∞
p=0
1
p!
t
p A
p+1 ,
d
dt
(e
tA ) = A · e
tA = e
tA
· A.
Par cons´ equent, on a bien
dY
dt
=
d
dt
e
(t−t0)A
· V 0
= Ae
(t−t0)A
· V 0 = AY (t).
En prenant t 0 = 0, on voit que la solution g´ en´ erale est donn´ ee par Y (t) = e
tA
· V
avec V ∈ K
m .
Le calcul de e
tA se ram` ene au cas d’un bloc triangulaire B = λI + N ∈ M p (C).
Dans ce cas on a e
tB = e
λtI e
tN = e
λt e
tN , avec
e
tN =
p−1
n=0
t
n
n!
N
n =
1
Q 12 (t) . . . Q 1p (t)
1 Q 23 (t)
. . .
. . .
. . .
1
Q p−1 p (t)
0
1
o` u Q ij (t) est un polynˆ ome de degr´ e ≤ j − i, avec Q ij (0) = 0. Les composantes de
Y (t) sont donc toujours des fonctions exponentielles-polynˆ omes
1≤j≤s P j (t)e
λj t
o` u λ 1 , . . . , λ s sont les valeurs propres complexes de A (mˆ eme si K = R).
¾ººº ËÓÐÙØØÓÒ Ò ÖÖÐÐ
dY
dt
= AY + B(t)
Si aucune solution ´ evidente n’apparaˆ ıt, on peut utiliser la m´ ethode de variation des
constantes, c’est-` a-dire qu’on cherche une solution particuli` ere sous la forme
Y (t) = e
tA
· V (t)
o` u V est suppos´ ee diff´ erentiable. Il vient
Y
(t) = Ae
tA
· V (t) + e
tA
· V
(t)
= AY (t) + e
tA
· V
(t).