VII – Syst` emes diff´ erentiels lin´ eaires
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On est donc ramen´ e ` a calculer l’exponentielle e
B lorsque B est un bloc triangulaire
de la forme
B =





λ ∗ . . . ∗
0 λ
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . ∗
0 . . . 0 λ





= λI + N ∈ M p (K),
o` u I est la matrice unit´ e et N une matrice nilpotente N =


0
∗
. . .
. . .
0 . . . 0


triangulaire sup´ erieure. La puissance N
n comporte n diagonales nulles `
a partir
de la diagonale principale (celle-ci incluse), en particulier N
n = 0 pour n ≥ p. On
obtient donc
e
N = I +
1
1!
N + . . . +
1
(p − 1)!
N
p−1 =





1 ∗ . . . ∗
0 1
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . ∗
0 . . . 0 1





.
Comme I et N commutent, il vient finalement
e
B = e
λI e
N = e
λ e
N
(car e
λI = e
λ I).
Formule – det (e
A ) = exp(tr(A)).
V´ erification. Dans le cas d’un bloc triangulaire B ∈ M p (K), on trouve
det (e
B ) = (e
λ )
p det (e
N ) = e
pλ = exp(tr(B)).
On en d´ eduit donc
det (e
T ) = det (e
T1 ) . . . det (e
Ts ) = exp(tr(T 1 ) + . . . + tr(T s )) = exp(tr(T ))
Comme A = P T P
−1 et e
A = P e
T P
−1 , on a finalement
det (e
A ) = det (e
T ), tr(A) = tr(T ) =
valeurs propres.
¾º¿º ËÓÐÙØØÓÒ Ò ÖÖÐÐ Ù ×Ý×Ø ÑÑ ××Ò× ×××ÓÒÒ ÑÑÑÑÖÖ
dY
dt
= AY
L’une des propri´ et´ es fondamentales de l’exponentiation des matrices r´ eside dans le
fait qu’elle est intimement li´ ee ` a la r´ esolution des ´ equations lin´ eaires ` a coefficients
constants dY /dt = AY .
Th´ eor` eme – La solution Y telle que Y (t 0 ) = V 0 est donn´ ee par
Y (t) = e
(t−t0)A
· V 0 ,
∀t ∈ R.