200
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
V´ erification. On consid` ere la s´ erie produit
1
p! A
p
·
1
q! B
q , dont le terme
g´ en´ eral est
C n =
p+q=n
1
p!q!
A
p B
q =
1
n!
n
p=0
n!
p!(n − p)!
A
p B
n−p =
1
n!
(A + B)
n
d’apr` es la formule du binˆ ome (noter que cette formule n’est vraie que si A et B
commutent). Comme les s´ eries de e
A et e
B sont absolument convergentes, on en
d´ eduit
e
A
· e
B =
+∞
n=0
C n = e
A+B .
On voit en particulier que e
A est une matrice inversible, d’inverse e
−A .
Remarque – La propri´ et´ e fondamentale tombe en d´ efaut lorsque A et B ne
commutent pas. Le lecteur pourra par exemple calculer e
A
· e
B et e
A+B avec
A =
0 0
θ 0
et B =
0 −θ
0 0
,
avec θ ∈ R. Que remarque-t-on ?
M´ ethode g´ en´ erale de calcul dans M n (C) – Toute matrice A ∈ M n (C)
peut ˆ etre mise sous forme de blocs triangulaires correspondant aux diff´ erents sousespaces caract´ eristiques de A. Il existe donc une matrice de passage P , dont
les colonnes sont constitu´ ees par des vecteurs formant des bases des sous-espaces
caract´ eristiques, telle que
T = P
−1 AP
soit une matrice triangulaire de la forme
T =
T 1
0
T 2
. . .
0
T s
,
T j =
λ j ∗ . . . ∗
0 λ j
. . .
. . .
. . .
. . . ∗
0 . . . 0 λ j
,
o` u λ 1 , . . . , λ s sont les valeurs propres distinctes de A. On a alors de fa¸ con ´ evidente
T
n =
T
n
1
0
T
n
2
. . .
0
T
n
s
,
e
T =
e
T1
0
e
T2
. . .
0
e
Ts
Comme A = P T P
−1 , il vient A
n = P T
n P
−1 , d’o` u
e
A = P e
T P
−1 = P
e
T1
0
e
T2
. . .
0
e
Ts
P
−1
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
V´ erification. On consid` ere la s´ erie produit
1
p! A
p
·
1
q! B
q , dont le terme
g´ en´ eral est
C n =
p+q=n
1
p!q!
A
p B
q =
1
n!
n
p=0
n!
p!(n − p)!
A
p B
n−p =
1
n!
(A + B)
n
d’apr` es la formule du binˆ ome (noter que cette formule n’est vraie que si A et B
commutent). Comme les s´ eries de e
A et e
B sont absolument convergentes, on en
d´ eduit
e
A
· e
B =
+∞
n=0
C n = e
A+B .
On voit en particulier que e
A est une matrice inversible, d’inverse e
−A .
Remarque – La propri´ et´ e fondamentale tombe en d´ efaut lorsque A et B ne
commutent pas. Le lecteur pourra par exemple calculer e
A
· e
B et e
A+B avec
A =
0 0
θ 0
et B =
0 −θ
0 0
,
avec θ ∈ R. Que remarque-t-on ?
M´ ethode g´ en´ erale de calcul dans M n (C) – Toute matrice A ∈ M n (C)
peut ˆ etre mise sous forme de blocs triangulaires correspondant aux diff´ erents sousespaces caract´ eristiques de A. Il existe donc une matrice de passage P , dont
les colonnes sont constitu´ ees par des vecteurs formant des bases des sous-espaces
caract´ eristiques, telle que
T = P
−1 AP
soit une matrice triangulaire de la forme
T =
T 1
0
T 2
. . .
0
T s
,
T j =
λ j ∗ . . . ∗
0 λ j
. . .
. . .
. . .
. . . ∗
0 . . . 0 λ j
,
o` u λ 1 , . . . , λ s sont les valeurs propres distinctes de A. On a alors de fa¸ con ´ evidente
T
n =
T
n
1
0
T
n
2
. . .
0
T
n
s
,
e
T =
e
T1
0
e
T2
. . .
0
e
Ts
Comme A = P T P
−1 , il vient A
n = P T
n P
−1 , d’o` u
e
A = P e
T P
−1 = P
e
T1
0
e
T2
. . .
0
e
Ts
P
−1