VII – Syst` emes diff´ erentiels lin´ eaires
199
¾º½º ËÓÐÙØØÓÒ× ÜÔÓÒÒÒØØØÐÐÐ×
Ð ÑÑÒØÖÖ×
dY
dt
= AY
On cherche une solution de la forme Y (t) = e
λt V o` u l ∈ K, V ∈ K
m sont des
constantes. Cette fonction est solution si et seulement si λe
λt V = e
λt AV , soit
AV = λV.
On est donc amen´ e ` a chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de A.
Cas simple : A est diagonalisable.
Il existe alors une base (V 1 , . . . , V m ) de K
m constitu´ ee de vecteurs propres de A, de
valeurs propres respectives λ 1 , . . . , λ m . On obtient donc m solutions lin´ eairement
ind´ ependantes
t → e
λj t V j , 1 ≤ j ≤ m.
La solution g´ en´ erale est donn´ ee par
Y (t) = α 1 e
λ1t V 1 + . . . + α m e
λmt V m , α j ∈ K.
Lorsque A est n’est pas diagonalisable, on a besoin en g´ en´ eral de la notion
d’exponentielle d’une matrice. Toutefois le cas des syst` emes 2 × 2 ` a coefficients
constants est suffisamment simple pour qu’on puisse faire les calculs ` a la main .
Le lecteur pourra se reporter au § X 2.2 pour une ´ etude approfondie de ce cas.
¾º¾º ÜÔÓÒÒÒØØØÐÐÐ ³ÙÒÒ ÑÑØÖÖÖÖ
La d´ efinition est calqu´ ee sur celle de la fonction exponentielle complexe usuelle,
calcul´ ee au moyen du d´ eveloppement en s´ erie enti` ere.
D´ efinition – Si A ∈ M (K), on pose e
A =
+∞
n=0
1
n!
A
n .
Munissons M n (K) de la norme ||| ||| des op´ erateurs lin´ eaires sur K
m associ´ ee ` a la
norme euclidienne (resp. hermitienne) de R
m (resp. C
m ). On a alors
|||
1
n!
A
n
||| ≤
1
n!
|||A|||
n ,
de sorte que la s´ erie
1
n! A
n est absolument convergente. On voit de plus que
|||e
A
||| ≤ e
|||A||| .
Propri´ et´ e fondamentale – Si A, B ∈ M m (K) commutent (AB = BA), alors
e
A+B = e
B
· e
B .
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¾º½º ËÓÐÙØØÓÒ× ÜÔÓÒÒÒØØØÐÐÐ×
Ð ÑÑÒØÖÖ×
dY
dt
= AY
On cherche une solution de la forme Y (t) = e
λt V o` u l ∈ K, V ∈ K
m sont des
constantes. Cette fonction est solution si et seulement si λe
λt V = e
λt AV , soit
AV = λV.
On est donc amen´ e ` a chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de A.
Cas simple : A est diagonalisable.
Il existe alors une base (V 1 , . . . , V m ) de K
m constitu´ ee de vecteurs propres de A, de
valeurs propres respectives λ 1 , . . . , λ m . On obtient donc m solutions lin´ eairement
ind´ ependantes
t → e
λj t V j , 1 ≤ j ≤ m.
La solution g´ en´ erale est donn´ ee par
Y (t) = α 1 e
λ1t V 1 + . . . + α m e
λmt V m , α j ∈ K.
Lorsque A est n’est pas diagonalisable, on a besoin en g´ en´ eral de la notion
d’exponentielle d’une matrice. Toutefois le cas des syst` emes 2 × 2 ` a coefficients
constants est suffisamment simple pour qu’on puisse faire les calculs ` a la main .
Le lecteur pourra se reporter au § X 2.2 pour une ´ etude approfondie de ce cas.
¾º¾º ÜÔÓÒÒÒØØØÐÐÐ ³ÙÒÒ ÑÑØÖÖÖÖ
La d´ efinition est calqu´ ee sur celle de la fonction exponentielle complexe usuelle,
calcul´ ee au moyen du d´ eveloppement en s´ erie enti` ere.
D´ efinition – Si A ∈ M (K), on pose e
A =
+∞
n=0
1
n!
A
n .
Munissons M n (K) de la norme ||| ||| des op´ erateurs lin´ eaires sur K
m associ´ ee ` a la
norme euclidienne (resp. hermitienne) de R
m (resp. C
m ). On a alors
|||
1
n!
A
n
||| ≤
1
n!
|||A|||
n ,
de sorte que la s´ erie
1
n! A
n est absolument convergente. On voit de plus que
|||e
A
||| ≤ e
|||A||| .
Propri´ et´ e fondamentale – Si A, B ∈ M m (K) commutent (AB = BA), alors
e
A+B = e
B
· e
B .