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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
D’apr` es le crit` ere V 3.4 sur l’existence de solutions globales, on peut ´ enoncer :
Th´ eor` eme – Par tout point (t 0 , V 0 ) ∈ I × K
m il passe une solution maximale
unique, d´ efinie sur I tout entier.
½º¾º × ³ÙÒ ×Ý×Ø ÑÑ ÐÐÒ ÖÖ ××Ò× ×××ÓÒÒ ÑÑÑÑÖÖ
On entend par l` a un syst` eme lin´ eaire avec B = 0 identiquement :
(E 0 )
dY
dt
= A(t)Y.
Soit S l’ensemble des solutions maximales. Alors pour tous Y (1) , Y (2) ∈ S et tous
scalaires λ 1 , λ 2 ∈ K on a λ 1 Y (1) + λ 2 Y (2) ∈ S, donc S est un K-espace vectoriel.
Consid´ erons l’application d’´ evaluation au temps t 0 :
φ t0 : S → K
m
Y → Y (t 0 ).
φ t0 est un isomorphisme lin´ eaire, la surjectivit´ e provenant du th´ eor` eme d’existence,
et l’injectivit´ e du th´ eor` eme d’unicit´ e relatif au probl` eme de Cauchy.
Cons´ equence – L’ensemble S des solutions maximales est un espace vectoriel
de dimension m sur K.
½º¿º × Ò ÖÖÐ
Revenons au syst` eme lin´ eaire le plus g´ en´ eral :
(E)
dY
dt
= A(t)Y + B(t).
On sait qu’il existe au moins une solution globale Y (1) . Si Y est une solution
quelconque, il est clair que Z = Y − Y (1) satisfait l’´ equation sans second membre
(E 0 ) : dZ/dt = A(t)Z, et r´ eciproquement. Par cons´ equent, l’ensemble des solutions
maximales est donn´ e par
Y (1) + S = {Y (1) + Z ; Z ∈ S},
o` u S est l’ensemble des solutions maximales de l’´ equation sans second membre (E 0 )
associ´ ee. L’ensemble Y (1) + S des solutions est un translat´ e de S, c’est donc un
espace affine de dimension m sur K, admettant S comme direction vectorielle.
¾º ËÝ×Ø ÑÑ× ÖÖÒØØØÐ× ÐÐÒ ÖÖ×
ÓÓÓÓÓÓÓÓÒØ× ÓÒ×ØÒØ×
Ce sont les syst` emes de la forme
(E)
dY
dt
= AY + B(t)
o` u la matrice A = (a ij ) ∈ M n (K) est ind´ ependante de t.
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
D’apr` es le crit` ere V 3.4 sur l’existence de solutions globales, on peut ´ enoncer :
Th´ eor` eme – Par tout point (t 0 , V 0 ) ∈ I × K
m il passe une solution maximale
unique, d´ efinie sur I tout entier.
½º¾º × ³ÙÒ ×Ý×Ø ÑÑ ÐÐÒ ÖÖ ××Ò× ×××ÓÒÒ ÑÑÑÑÖÖ
On entend par l` a un syst` eme lin´ eaire avec B = 0 identiquement :
(E 0 )
dY
dt
= A(t)Y.
Soit S l’ensemble des solutions maximales. Alors pour tous Y (1) , Y (2) ∈ S et tous
scalaires λ 1 , λ 2 ∈ K on a λ 1 Y (1) + λ 2 Y (2) ∈ S, donc S est un K-espace vectoriel.
Consid´ erons l’application d’´ evaluation au temps t 0 :
φ t0 : S → K
m
Y → Y (t 0 ).
φ t0 est un isomorphisme lin´ eaire, la surjectivit´ e provenant du th´ eor` eme d’existence,
et l’injectivit´ e du th´ eor` eme d’unicit´ e relatif au probl` eme de Cauchy.
Cons´ equence – L’ensemble S des solutions maximales est un espace vectoriel
de dimension m sur K.
½º¿º × Ò ÖÖÐ
Revenons au syst` eme lin´ eaire le plus g´ en´ eral :
(E)
dY
dt
= A(t)Y + B(t).
On sait qu’il existe au moins une solution globale Y (1) . Si Y est une solution
quelconque, il est clair que Z = Y − Y (1) satisfait l’´ equation sans second membre
(E 0 ) : dZ/dt = A(t)Z, et r´ eciproquement. Par cons´ equent, l’ensemble des solutions
maximales est donn´ e par
Y (1) + S = {Y (1) + Z ; Z ∈ S},
o` u S est l’ensemble des solutions maximales de l’´ equation sans second membre (E 0 )
associ´ ee. L’ensemble Y (1) + S des solutions est un translat´ e de S, c’est donc un
espace affine de dimension m sur K, admettant S comme direction vectorielle.
¾º ËÝ×Ø ÑÑ× ÖÖÒØØØÐ× ÐÐÒ ÖÖ×
ÓÓÓÓÓÓÓÓÒØ× ÓÒ×ØÒØ×
Ce sont les syst` emes de la forme
(E)
dY
dt
= AY + B(t)
o` u la matrice A = (a ij ) ∈ M n (K) est ind´ ependante de t.