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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
5.7. On consid` ere dans le plan euclidien R
2 la famille de courbes
(C λ )
x
4 = y
4 + λx.
(a) D´ eterminer l’´ equation diff´ erentielle v´ erifi´ ee par la famille (C λ ).
(b) ´
Ecrire l’´ equation diff´ erentielle des trajectoires orthogonales aux courbes (C λ ).
En observant que cette ´ equation est d’un type classique, d´ eterminer l’´ equation
des trajectoires orthogonales.
5.8. On consid` ere le probl` eme de Cauchy
(P)
y
= t
2 + y
2 + 1 ;
y(0) = 0.
(a) Soient T et R deux r´ eels > 0, et soit Ω(T, R) le rectangle d´ efini par les in´ egalit´ es
0 ≤ t ≤ T ; −R ≤ y ≤ R.
(α) Montrer que si la condition
T
2 + R
2 + 1 ≤ R/T
est v´ erifi´ ee, alors Ω(T, R) est un rectangle de s´ ecurit´ e pour (P).
(β) Montrer que pour T > 0 suffisamment petit, par exemple pour T < T 0 =
√
2−1
2 , il existe R > 0 tel que Ω(T, R) soit un rectangle de s´ ecurit´ e
pour (P).
(γ) Montrer que Ω(1/3, 2) est un rectangle de s´ ecurit´ e pour (P), et en d´ eduire
avec pr´ ecision que (P) admet une solution y et une seule sur l’intervalle
[0, 1/3].
(b) On va montrer que la solution y de (P) mise en ´ evidence en (a) (γ) ne se prolonge
pas `
a [0, +∞[. On introduit `
a cet effet le probl` eme de Cauchy auxiliaire
(P 1 )
z
= z
2 + 1,
z(0) = 0,
o` u z d´ esigne une nouvelle fonction inconnue de t.
(α) D´ eterminer explicitement l’unique solution z de (P 1 ), et indiquer son
intervalle de d´ efinition maximal.
(β) Soit [0, T ] un intervalle sur lequel y et z soient simultan´ ement d´ efinies.
Montrer que u = y − z est solution d’un probl` eme de Cauchy
(P 2 )
u
= a(t)u + b(t) ;
u(0) = 0 ;
o` u b v´ erifie b(t) ≥ 0 pour tout t dans [0, T ]. En d´ eduire que y(t) ≥ z(t) pour
tout t dans [0, T ].