VI – M´ ethodes de r´ esolution explicite
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(γ) D´ eduire de ce qui pr´ ec` ede que si T ≥
π
2 , alors y ne se prolonge certainement
pas jusqu’` a t = T .
(δ) Tracer avec le maximum de pr´ ecision possible le graphe de y sur son
intervalle de d´ efinition maximal [0, T 1 [ (forme du graphe au voisinage de
0 ; sens de variation, convexit´ e ; asymptote ; etc. . .).
5.9
∗∗ . On appelle m´ etrique de Poincar´ e du disque unit´ e D = {|z| < 1} du plan
complexe la m´ etrique riemannienne
ds
2 =
|dz|
2
(1 − |z| 2 ) 2 =
dx
2 + dy
2
(1 − (x 2 + y 2 )) 2 ,
z = x + iy.
(a) Montrer (avec les notations du § 4.4, et en gardant les fonctions complexes dans
les calculs) que la diff´ erentielle de l’´ energie est donn´ ee par
E(γ) · h = 2 Re
b
a
γ
(t)
1 − γ(t)γ(t)
2 h (t) + 2
γ(t)γ
(t)γ (t)
1 − γ(t)γ(t)
3 h(t)
dt.
En d´ eduire que l’´ equation d’Euler-Lagrange des g´ eod´ esiques est
γ
(t) +
2γ
(t)
2 γ(t)
1 − γ(t)γ(t)
= 0.
(b) Montrer que le chemin γ(t) = tanh(kt) (qui d´ ecrit le diam` etre ]−1, 1[ du disque)
est solution de l’´ equation pour tout k ∈ R
∗
+ .
(c) Montrer que si t → γ(t) est solution, alors t → λγ(t) est encore solution pour
tout nombre complexe λ de module 1, et ´ egalement que h a ◦ γ est solution, pour
toute homographie complexe h a de la forme
h a (z) =
z + a
1 + az
,
a∈ D.
(d) En utilisant un argument d’unicit´ e des solutions du probl` eme de Cauchy,
montrer que les g´ eod´ esiques sont toutes donn´ ees par γ(t) = h a (λ tanh(kt)),
a ∈ D, |λ| = 1, k ∈ R
∗
+ [on pourra calculer γ(0) et γ
(0)].
(e) Montrer que les trajectoires des g´ eod´ esiques sont les diam` etres et les arcs de
cercle orthogonaux au cercle unit´ e |z| = 1.