VI – M´ ethodes de r´ esolution explicite
193
(a) D´ eterminer explicitement les solutions de cette ´ equation ; on pourra commencer
par chercher s’il existe des solutions polynomiales simples.
(b) Montrer que les courbes int´ egrales maximales correspondant ` a des solutions non
polynomiales forment deux familles de courbes se d´ eduisant les unes des autres
par translations. Tracer celles de ces courbes qui sont asymptotes ` a l’axe y
Oy.
5.4. On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle (1) y
2 = yy
+ x, o` u y est une fonction
de x ` a valeurs r´ eelles, de classe C
1 par morceaux.
(a) Par quels points (x, y) de R
2 passe-t-il une solution de (1) ? Faire un graphique.
(b) En param´ etrant (1) par dy = tdx, montrer que y est solution d’une ´ equation
diff´ erentielle (2) f
y, t,
dy
dt
= 0.
(c) Int´ egrer (2) puis (1) ; on pourra poser t = tan ϕ avec ϕ ∈
−
π
2 ,
π
2
. On obtient
une famille de courbes C λ d´ ependant d’un param` etre λ.
(d) Pour λ = 0 pr´ eciser les limites quand ϕ →
π
2 − 0 de x, y, y/x, puis pr´ eciser
dx
dϕ
et
dy
dϕ . Quelle est la norme euclidienne du vecteur
dx
dϕ ,
dy
dϕ
? On se rappellera
que
dy
dx = tan ϕ.
(e) On pose z(ϕ) =
dx
dϕ
2 +
dy
dϕ
2 pour 0 ≤ ϕ ≤
π
2 . Etudier les variations de
z(ϕ) puis tracer la courbe C 0 .
5.5. On consid` ere la famille de paraboles (P λ ) d’´ equation
P λ : x = y
2 + λy.
(a) Montrer que ces courbes sont solutions d’une ´ equation diff´ erentielle du premier
ordre que l’on pr´ ecisera.
(b) D´ eterminer la famille des courbes orthogonales aux courbes (P λ ).
5.6. On consid` ere la famille de courbes (C λ ) dans R
2 d´ efinies par l’´ equation
x
2
− y
2 + λy
3 = 0,
o` u λ est un param` etre r´ eel.
(a) Tracer les courbes (C 0 ), (C 1 ) dans un rep` ere orthonorm´ e Oxy (unit´ e : 4 cm).
Quelle relation existe-t-il entre (C 1 ) et (C λ ) ?
(b) Montrer que les courbes (C λ ) sont solutions d’une ´ equation diff´ erentielle du
premier ordre.
(c) D´ eterminer l’´ equation des trajectoires orthogonales aux courbes (C λ ). Quelle
est la nature de ces courbes ? Repr´ esenter la trajectoire orthogonale passant
par le point (1, 0) sur le mˆ eme sch´ ema que (C 0 ) et (C 1 ).
193
(a) D´ eterminer explicitement les solutions de cette ´ equation ; on pourra commencer
par chercher s’il existe des solutions polynomiales simples.
(b) Montrer que les courbes int´ egrales maximales correspondant ` a des solutions non
polynomiales forment deux familles de courbes se d´ eduisant les unes des autres
par translations. Tracer celles de ces courbes qui sont asymptotes ` a l’axe y
Oy.
5.4. On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle (1) y
2 = yy
+ x, o` u y est une fonction
de x ` a valeurs r´ eelles, de classe C
1 par morceaux.
(a) Par quels points (x, y) de R
2 passe-t-il une solution de (1) ? Faire un graphique.
(b) En param´ etrant (1) par dy = tdx, montrer que y est solution d’une ´ equation
diff´ erentielle (2) f
y, t,
dy
dt
= 0.
(c) Int´ egrer (2) puis (1) ; on pourra poser t = tan ϕ avec ϕ ∈
−
π
2 ,
π
2
. On obtient
une famille de courbes C λ d´ ependant d’un param` etre λ.
(d) Pour λ = 0 pr´ eciser les limites quand ϕ →
π
2 − 0 de x, y, y/x, puis pr´ eciser
dx
dϕ
et
dy
dϕ . Quelle est la norme euclidienne du vecteur
dx
dϕ ,
dy
dϕ
? On se rappellera
que
dy
dx = tan ϕ.
(e) On pose z(ϕ) =
dx
dϕ
2 +
dy
dϕ
2 pour 0 ≤ ϕ ≤
π
2 . Etudier les variations de
z(ϕ) puis tracer la courbe C 0 .
5.5. On consid` ere la famille de paraboles (P λ ) d’´ equation
P λ : x = y
2 + λy.
(a) Montrer que ces courbes sont solutions d’une ´ equation diff´ erentielle du premier
ordre que l’on pr´ ecisera.
(b) D´ eterminer la famille des courbes orthogonales aux courbes (P λ ).
5.6. On consid` ere la famille de courbes (C λ ) dans R
2 d´ efinies par l’´ equation
x
2
− y
2 + λy
3 = 0,
o` u λ est un param` etre r´ eel.
(a) Tracer les courbes (C 0 ), (C 1 ) dans un rep` ere orthonorm´ e Oxy (unit´ e : 4 cm).
Quelle relation existe-t-il entre (C 1 ) et (C λ ) ?
(b) Montrer que les courbes (C λ ) sont solutions d’une ´ equation diff´ erentielle du
premier ordre.
(c) D´ eterminer l’´ equation des trajectoires orthogonales aux courbes (C λ ). Quelle
est la nature de ces courbes ? Repr´ esenter la trajectoire orthogonale passant
par le point (1, 0) sur le mˆ eme sch´ ema que (C 0 ) et (C 1 ).