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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
apr` es int´ egration par parties (on suppose bien sˆ ur h j (a) = h j (b) = 0). Il en r´ esulte
que le coefficient de chaque terme h k (t) doit ˆ etre identiquement nul. En multipliant
par −1/2 et en d´ eveloppant la d´ eriv´ ee d/dt, on obtient le syst` eme d’´ equations
d’Euler-Lagrange caract´ erisant les g´ eod´ esiques :
i
a ik (γ(t)) γ
i (t) +
i,j
∂a ik
∂x j
−
1
2
∂a ij
∂x k
(γ(t)) γ
i (t)γ
j (t) = 0,
1 ≤ k ≤ m.
º ÈÖÓÓÐ ÑÑ×
5.1. On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle ` a variables s´ epar´ ees
(F α )
dy
dt
= y
α + 1,
α>0.
(a) Exprimer la solution g´ en´ erale de (F α ) en introduisant la fonction auxiliaire
G(y) =
y
0
dx
x α + 1
(b) Plus pr´ ecis´ ement :
• D´ eterminer (en distinguant les deux cas 0 < α ≤ 1 et α > 1) le comportement
de G(y) sur [0, +∞[ ;
• en d´ eduire dans chaque cas l’allure des solutions maximales de (F α ) ;
• traiter compl` etement et explicitement les deux cas α = 1 et α = 2.
5.2. On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle
xy
− y
2 + (2x + 1)y = x
2 + 2x.
(a) Poss` ede-t-elle une solution particuli` ere de type polynˆ ome ? En donner la
solution g´ en´ erale.
(b) Quelle est l’´ equation de l’isocline de pente 0 dans le nouveau rep` ere de vecteurs
de base ((1, 1), (0, 1)) ? Dessiner cette isocline en pr´ ecisant les tangentes aux
points d’abscisse 0 dans l’ancien rep` ere.
(c) Dessiner l’allure g´ en´ erale des solutions.
(d) Soit (x 0 , y 0 ) un point de R
2 . Combien passe-t-il de solutions maximales de
classe C
1 par (x 0 , y 0 ) ? On pr´ ecisera l’intervalle de d´ efinition de ces solutions
et le cas ´ ech´ eant on indiquera les solutions globales.
5.3. On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle
dy
dt
= y
2
− (2x − 1)y + x
2
− x + 1.
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
apr` es int´ egration par parties (on suppose bien sˆ ur h j (a) = h j (b) = 0). Il en r´ esulte
que le coefficient de chaque terme h k (t) doit ˆ etre identiquement nul. En multipliant
par −1/2 et en d´ eveloppant la d´ eriv´ ee d/dt, on obtient le syst` eme d’´ equations
d’Euler-Lagrange caract´ erisant les g´ eod´ esiques :
i
a ik (γ(t)) γ
i (t) +
i,j
∂a ik
∂x j
−
1
2
∂a ij
∂x k
(γ(t)) γ
i (t)γ
j (t) = 0,
1 ≤ k ≤ m.
º ÈÖÓÓÐ ÑÑ×
5.1. On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle ` a variables s´ epar´ ees
(F α )
dy
dt
= y
α + 1,
α>0.
(a) Exprimer la solution g´ en´ erale de (F α ) en introduisant la fonction auxiliaire
G(y) =
y
0
dx
x α + 1
(b) Plus pr´ ecis´ ement :
• D´ eterminer (en distinguant les deux cas 0 < α ≤ 1 et α > 1) le comportement
de G(y) sur [0, +∞[ ;
• en d´ eduire dans chaque cas l’allure des solutions maximales de (F α ) ;
• traiter compl` etement et explicitement les deux cas α = 1 et α = 2.
5.2. On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle
xy
− y
2 + (2x + 1)y = x
2 + 2x.
(a) Poss` ede-t-elle une solution particuli` ere de type polynˆ ome ? En donner la
solution g´ en´ erale.
(b) Quelle est l’´ equation de l’isocline de pente 0 dans le nouveau rep` ere de vecteurs
de base ((1, 1), (0, 1)) ? Dessiner cette isocline en pr´ ecisant les tangentes aux
points d’abscisse 0 dans l’ancien rep` ere.
(c) Dessiner l’allure g´ en´ erale des solutions.
(d) Soit (x 0 , y 0 ) un point de R
2 . Combien passe-t-il de solutions maximales de
classe C
1 par (x 0 , y 0 ) ? On pr´ ecisera l’intervalle de d´ efinition de ces solutions
et le cas ´ ech´ eant on indiquera les solutions globales.
5.3. On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle
dy
dt
= y
2
− (2x − 1)y + x
2
− x + 1.