VI – M´ ethodes de r´ esolution explicite
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Plus g´ en´ eralement, une m´ etrique riemannienne sur un ouvert Ω ⊂ R
m est une
expression de l’´ el´ ement de longueur infinit´ esimal par une forme quadratique d´ efinie
positive, d´ ependant du point x ∈ Ω consid´ er´ e :
ds
2 = q(x, dx) =
1≤i,j≤m
a ij (x) dx i dx j
(avec une matrice sym´ etrique (a ij (x)) d´ efinie positive). On supposera en outre que
les coefficients a ij (x) sont suffisamment r´ eguliers, disons de classe C
2 . ´
Etant donn´ e
une courbe γ : [a, b] → Ω de classe C
1 , sa longueur (riemannienne) est par d´ efinition
ds = γ
(t) dt q =
q
γ(t), γ (t)dt
=
1≤i,j≤m
a ij (γ(t)) γ
i (t)γ
j (t) dt,
long(γ) =
b
a
ds =
b
a
1≤i,j≤m
a ij (γ(t)) γ
i (t)γ
j (t) dt.
Pour deux points x, y ∈ Ω, la distance g´ eod´ esique d q (x, y) est par d´ efinition
inf γ long(γ) pour tous les chemins γ : [a, b] → Ω de classe C
1 d’extrˆ emit´ es γ(a) = x,
γ(b) = y. Si un chemin r´ ealise l’infimum, on dit qu’il s’agit d’une g´ eod´ esique
de la m´ etrique riemannienne (on notera qu’en g´ en´ eral un tel chemin n’existe pas
n´ ecessairement, et s’il existe il peut ne pas ˆ etre unique). Un probl` eme fondamental
est de d´ eterminer l’´ equation des g´ eod´ esiques afin entre autres de calculer la distance
g´ eod´ esique. Pour cela il est commode d’introduire l’´ energie d’un chemin qui est
par d´ efinition
E(γ) =
b
a
γ
(t)
2
q dt =
b
a
1≤i,j≤m
a ij (γ(t)) γ
i (t)γ
j (t) dt.
L’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz donne
b
a
γ
(t) q dt
2
=
b
a
1 · ·γ
(t) q dt
2 ≤ (b − a)
b
a
γ
(t)
2
q dt
soit long(γ) ≤
(b − a)E(γ)
1/2 , avec ´ egalit´ e si et seulement si
ds
dt
= γ
(t) q = Cte,
condition qui peut toujours ˆ etre r´ ealis´ ee en reparam´ etrisant le chemin γ par son
abscisse curviligne s. Il en r´ esulte que les chemins qui minimisent l’´ energie sont
exactement les g´ eod´ esiques param´ etr´ ees par l’abscisse curviligne (` a un facteur
constant pr` es). Or la fonctionnelle d’´ energie γ → E(γ) admet pour diff´ erentielle
E
(γ) · h =
b
a
i,j,k
∂a ij
∂x k
(γ(t)) γ
i (t)γ
j (t)h k (t) + 2
i,j
a ij (γ(t)) γ
i (t)h
j (t)
dt
=
b
a
k
h k (t)
i,j
∂a ij
∂x k
(γ(t)) γ
i (t)γ
j (t) − 2
d
dt
i
a ik (γ(t)) γ
i (t)
dt
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Plus g´ en´ eralement, une m´ etrique riemannienne sur un ouvert Ω ⊂ R
m est une
expression de l’´ el´ ement de longueur infinit´ esimal par une forme quadratique d´ efinie
positive, d´ ependant du point x ∈ Ω consid´ er´ e :
ds
2 = q(x, dx) =
1≤i,j≤m
a ij (x) dx i dx j
(avec une matrice sym´ etrique (a ij (x)) d´ efinie positive). On supposera en outre que
les coefficients a ij (x) sont suffisamment r´ eguliers, disons de classe C
2 . ´
Etant donn´ e
une courbe γ : [a, b] → Ω de classe C
1 , sa longueur (riemannienne) est par d´ efinition
ds = γ
(t) dt q =
q
γ(t), γ (t)dt
=
1≤i,j≤m
a ij (γ(t)) γ
i (t)γ
j (t) dt,
long(γ) =
b
a
ds =
b
a
1≤i,j≤m
a ij (γ(t)) γ
i (t)γ
j (t) dt.
Pour deux points x, y ∈ Ω, la distance g´ eod´ esique d q (x, y) est par d´ efinition
inf γ long(γ) pour tous les chemins γ : [a, b] → Ω de classe C
1 d’extrˆ emit´ es γ(a) = x,
γ(b) = y. Si un chemin r´ ealise l’infimum, on dit qu’il s’agit d’une g´ eod´ esique
de la m´ etrique riemannienne (on notera qu’en g´ en´ eral un tel chemin n’existe pas
n´ ecessairement, et s’il existe il peut ne pas ˆ etre unique). Un probl` eme fondamental
est de d´ eterminer l’´ equation des g´ eod´ esiques afin entre autres de calculer la distance
g´ eod´ esique. Pour cela il est commode d’introduire l’´ energie d’un chemin qui est
par d´ efinition
E(γ) =
b
a
γ
(t)
2
q dt =
b
a
1≤i,j≤m
a ij (γ(t)) γ
i (t)γ
j (t) dt.
L’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz donne
b
a
γ
(t) q dt
2
=
b
a
1 · ·γ
(t) q dt
2 ≤ (b − a)
b
a
γ
(t)
2
q dt
soit long(γ) ≤
(b − a)E(γ)
1/2 , avec ´ egalit´ e si et seulement si
ds
dt
= γ
(t) q = Cte,
condition qui peut toujours ˆ etre r´ ealis´ ee en reparam´ etrisant le chemin γ par son
abscisse curviligne s. Il en r´ esulte que les chemins qui minimisent l’´ energie sont
exactement les g´ eod´ esiques param´ etr´ ees par l’abscisse curviligne (` a un facteur
constant pr` es). Or la fonctionnelle d’´ energie γ → E(γ) admet pour diff´ erentielle
E
(γ) · h =
b
a
i,j,k
∂a ij
∂x k
(γ(t)) γ
i (t)γ
j (t)h k (t) + 2
i,j
a ij (γ(t)) γ
i (t)h
j (t)
dt
=
b
a
k
h k (t)
i,j
∂a ij
∂x k
(γ(t)) γ
i (t)γ
j (t) − 2
d
dt
i
a ik (γ(t)) γ
i (t)
dt