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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
On r´ esout cette ´ equation grˆ ace ` a la m´ ethode d´ ecrite au paragraphe 4.2.b), consistant
` a choisir s comme nouvelle variable et v = s
comme nouvelle fonction inconnue. Il
vient successivement
s
=
ds
dx
=
ds
dx
·
ds
ds
= v
dv
ds
,
(E) ⇒ 1 − v
2 + sv
dv
ds
= 0,
ds
s
=
vdv
v 2 − 1
⇒ ln s =
1
2
ln(v
2
− 1) + C,
s = λ
v 2 − 1 = λ
s 2 − 1,
s
=
ds
dx
=
1 +
s 2
λ 2 ⇒ dx =
ds
1 + s 2 /λ 2
,
x = λ Arg sinh
s
λ
⇒ s = λ sinh
x
λ
,
ds
dx
=
1 +
dy
dx
2
= ch
x
λ
⇒
dy
dx
= sinh
x
λ
.
On en d´ eduit l’´ equation de la chaˆ ınette, en tenant compte du fait que y(a) = 0 :
y = λ
cosh
x
λ
− cosh
a
λ
.
Le param` etre λ se calcule ` a partir de la relation λ sinh a/λ = /2, obtenue en
´ egalant s(a) = /2.
Remarque – Notre raisonnement n’est pas parfaitement rigoureux dans la mesure
o` u F (x, s, t) = s
√
t 2 − 1 est de classe C
2 seulement sur R × R × {|t| > 1}, alors que
|s
| est ≥ 1 mais prend la valeur 1 pour x = 0 (on notera que ds/dx = 1/ cos θ o` u
θ est l’angle de la tangente `
a la courbe avec l’axe 0x). Supposons s
(x) > 1 pour
x > 0, comme c’est le cas pour la solution physique observ´ ee. Le raisonnement
de d´ erivation sous la signe somme et l’int´ egration par parties appliqu´ es dans les
consid´ erations g´ en´ erale du d´ ebut fonctionnent encore pour |t| petit si on suppose
h(x) = 0 sur un voisinage de 0 (et aussi bien sˆ ur h(a) = 0).
Ces fonctions h sont encore denses dans L
1 ([0, a]), donc s doit effectivement
satisfaire l’´ equation diff´ erentielle (E) sur ]0, a].
Calcul de g´ eod´ esiques ∗∗ – Nous ´ etudions ici une autre application importante
du calcul des variations, `
a savoir le calcul des g´ eod´ esiques d’une surface (ou d’une
vari´ et´ e de dimension plus grande). Si nous avons une surface S ⊂ R
3 donn´ ee comme
un graphe z = h(x, y) d’une fonction h : Ω → R sur un ouvert Ω ⊂ R
2 , l’´ el´ ement de
longueur infinit´ esimal de la surface S est donn´ e pour tout (x, y) ∈ Ω par
ds
2 = dx
2 + dy
2 + dz
2 = dx
2 + dy
2 + (h
x dx + h
y dy)
2
= (1 + h
2
x )dx
2 + 2h
x h
y dx dy + (1 + h
2
y )dy
2 .
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
On r´ esout cette ´ equation grˆ ace ` a la m´ ethode d´ ecrite au paragraphe 4.2.b), consistant
` a choisir s comme nouvelle variable et v = s
comme nouvelle fonction inconnue. Il
vient successivement
s
=
ds
dx
=
ds
dx
·
ds
ds
= v
dv
ds
,
(E) ⇒ 1 − v
2 + sv
dv
ds
= 0,
ds
s
=
vdv
v 2 − 1
⇒ ln s =
1
2
ln(v
2
− 1) + C,
s = λ
v 2 − 1 = λ
s 2 − 1,
s
=
ds
dx
=
1 +
s 2
λ 2 ⇒ dx =
ds
1 + s 2 /λ 2
,
x = λ Arg sinh
s
λ
⇒ s = λ sinh
x
λ
,
ds
dx
=
1 +
dy
dx
2
= ch
x
λ
⇒
dy
dx
= sinh
x
λ
.
On en d´ eduit l’´ equation de la chaˆ ınette, en tenant compte du fait que y(a) = 0 :
y = λ
cosh
x
λ
− cosh
a
λ
.
Le param` etre λ se calcule ` a partir de la relation λ sinh a/λ = /2, obtenue en
´ egalant s(a) = /2.
Remarque – Notre raisonnement n’est pas parfaitement rigoureux dans la mesure
o` u F (x, s, t) = s
√
t 2 − 1 est de classe C
2 seulement sur R × R × {|t| > 1}, alors que
|s
| est ≥ 1 mais prend la valeur 1 pour x = 0 (on notera que ds/dx = 1/ cos θ o` u
θ est l’angle de la tangente `
a la courbe avec l’axe 0x). Supposons s
(x) > 1 pour
x > 0, comme c’est le cas pour la solution physique observ´ ee. Le raisonnement
de d´ erivation sous la signe somme et l’int´ egration par parties appliqu´ es dans les
consid´ erations g´ en´ erale du d´ ebut fonctionnent encore pour |t| petit si on suppose
h(x) = 0 sur un voisinage de 0 (et aussi bien sˆ ur h(a) = 0).
Ces fonctions h sont encore denses dans L
1 ([0, a]), donc s doit effectivement
satisfaire l’´ equation diff´ erentielle (E) sur ]0, a].
Calcul de g´ eod´ esiques ∗∗ – Nous ´ etudions ici une autre application importante
du calcul des variations, `
a savoir le calcul des g´ eod´ esiques d’une surface (ou d’une
vari´ et´ e de dimension plus grande). Si nous avons une surface S ⊂ R
3 donn´ ee comme
un graphe z = h(x, y) d’une fonction h : Ω → R sur un ouvert Ω ⊂ R
2 , l’´ el´ ement de
longueur infinit´ esimal de la surface S est donn´ e pour tout (x, y) ∈ Ω par
ds
2 = dx
2 + dy
2 + dz
2 = dx
2 + dy
2 + (h
x dx + h
y dy)
2
= (1 + h
2
x )dx
2 + 2h
x h
y dx dy + (1 + h
2
y )dy
2 .