VI – M´ ethodes de r´ esolution explicite
189
Par densit´ e de l’ensemble des fonctions h consid´ er´ ees dans l’espace L
1 ([a, b]) des
fonctions int´ egrables sur [a, b], on aura donc ψ
h (0) = 0 pour tout h si et seulement
si u satisfait l’´ equation diff´ erentielle
(E)
F
y (x, u, u
) −
d
dx
F
z (x, u, u
)
= 0,
ou encore :
F
y (x, u, u
) − F
xz (x, u, u
) − u
F
yz (x, u, u
) − u
F
zz (x, u, u
) = 0.
Cette ´ equation diff´ erentielle du second ordre en u est appel´ ee ´ equation d’EulerLagrange associ´ ee au probl` eme variationnel d´ efini par l’op´ erateur ϕ.
Application `
a la chaˆ ınette ∗ – On cherche ` a d´ eterminer la courbe repr´ esentant
la position `
a l’´ equilibre d’un fil souple inextensible de masse lin´ eique µ = dm/ds
constante, lorsque ce fil est suspendu par ses extr´ emit´ es en des points situ´ es ` a
la mˆ eme hauteur (cette courbe est appel´ ee chaˆ ınette ). On admettra comme
physiquement ´ evident que la courbe cherch´ ee est sym´ etrique et situ´ ee dans le plan
vertical contenant les extr´ emit´ es. Soit Oxy un rep` ere orthonorm´ e de ce plan tel
que Oy est la verticale orient´ e vers le haut et passant par le point le plus bas de
la courbe, les extr´ emit´ es ayant pour coordonn´ ees (±a, 0). Soit enfin s ∈ [−/2, ,/2]
l’abscisse curviligne mesur´ ee le long du fil avec le point le plus bas pris comme origine
( d´ esigne la longueur du fil). La position d’´ equilibre correspond ` a la position la
plus basse possible du centre de gravit´ e G. Par sym´ etrie, on a (x ´ etant choisi comme
variable) :
y G =
1
m/2
a
0
y dm =
1
µµ/2
a
0
yµ ds =
2
a
0
y ds,
o` u m = µµ est la masse du fil. Une int´ egration par parties donne
y G =
2
ys
a
0
−
2
a
0
s dy
= −
2
a
0
s dy = −
2
a
0
s
s 2 − 1 dx
avec s
= ds/dx =
dx 2 + dy 2 /dx. Le probl` eme revient donc ` a d´ eterminer les
fonctions s = s(x) r´ ealisant le maximum de l’op´ erateur
ϕ(s) =
a
0
s
s 2 − 1 dx,
avec les contraintes s(0) = 0, s(a) = /2. L’´ equation d’Euler-Lagrange appliqu´ ee ` a
F (x, s, t) = s
√
t 2 − 1 donne
s 2 − 1 −
d
dx
ss
√
s 2 − 1
=
s 2 − 1 −
s
2 + ss
√
s 2 − 1
+
ss
2 s
(s 2 − 1) 3/2 = 0.
Apr` es multiplication par (s
2
− 1)
3/2 on obtient l’´ equation
(E)
(s
2
− 1)
2
− (s
2
− 1)(s
2 + ss
) + ss
2 s
= 1 − s
2 + ss
= 0.
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Par densit´ e de l’ensemble des fonctions h consid´ er´ ees dans l’espace L
1 ([a, b]) des
fonctions int´ egrables sur [a, b], on aura donc ψ
h (0) = 0 pour tout h si et seulement
si u satisfait l’´ equation diff´ erentielle
(E)
F
y (x, u, u
) −
d
dx
F
z (x, u, u
)
= 0,
ou encore :
F
y (x, u, u
) − F
xz (x, u, u
) − u
F
yz (x, u, u
) − u
F
zz (x, u, u
) = 0.
Cette ´ equation diff´ erentielle du second ordre en u est appel´ ee ´ equation d’EulerLagrange associ´ ee au probl` eme variationnel d´ efini par l’op´ erateur ϕ.
Application `
a la chaˆ ınette ∗ – On cherche ` a d´ eterminer la courbe repr´ esentant
la position `
a l’´ equilibre d’un fil souple inextensible de masse lin´ eique µ = dm/ds
constante, lorsque ce fil est suspendu par ses extr´ emit´ es en des points situ´ es ` a
la mˆ eme hauteur (cette courbe est appel´ ee chaˆ ınette ). On admettra comme
physiquement ´ evident que la courbe cherch´ ee est sym´ etrique et situ´ ee dans le plan
vertical contenant les extr´ emit´ es. Soit Oxy un rep` ere orthonorm´ e de ce plan tel
que Oy est la verticale orient´ e vers le haut et passant par le point le plus bas de
la courbe, les extr´ emit´ es ayant pour coordonn´ ees (±a, 0). Soit enfin s ∈ [−/2, ,/2]
l’abscisse curviligne mesur´ ee le long du fil avec le point le plus bas pris comme origine
( d´ esigne la longueur du fil). La position d’´ equilibre correspond ` a la position la
plus basse possible du centre de gravit´ e G. Par sym´ etrie, on a (x ´ etant choisi comme
variable) :
y G =
1
m/2
a
0
y dm =
1
µµ/2
a
0
yµ ds =
2
a
0
y ds,
o` u m = µµ est la masse du fil. Une int´ egration par parties donne
y G =
2
ys
a
0
−
2
a
0
s dy
= −
2
a
0
s dy = −
2
a
0
s
s 2 − 1 dx
avec s
= ds/dx =
dx 2 + dy 2 /dx. Le probl` eme revient donc ` a d´ eterminer les
fonctions s = s(x) r´ ealisant le maximum de l’op´ erateur
ϕ(s) =
a
0
s
s 2 − 1 dx,
avec les contraintes s(0) = 0, s(a) = /2. L’´ equation d’Euler-Lagrange appliqu´ ee ` a
F (x, s, t) = s
√
t 2 − 1 donne
s 2 − 1 −
d
dx
ss
√
s 2 − 1
=
s 2 − 1 −
s
2 + ss
√
s 2 − 1
+
ss
2 s
(s 2 − 1) 3/2 = 0.
Apr` es multiplication par (s
2
− 1)
3/2 on obtient l’´ equation
(E)
(s
2
− 1)
2
− (s
2
− 1)(s
2 + ss
) + ss
2 s
= 1 − s
2 + ss
= 0.