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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
La fonction µ = λ
est donc solution d’une ´ equation diff´ erentielle lin´ eaire du premier
ordre, qui se peut se r´ ecrire
µ
µ
=
λ
λ = −2
y
(1)
y (1)
−
b(x)
a(x)
.
La solution g´ en´ erale est donn´ ee par µ = αµ (1) , α ∈ R, d’o` u λ = αλ (1) + β, β ∈ R,
o` u λ (1) est une primitive de µ (1) . La solution g´ en´ erale de (E) est donc :
y(x) = αλ (1) (x)y (1) (x) + βy (1) (x), (α, β) ∈ R
2 .
Les solutions forment un espace vectoriel de dimension 2.
Exercice – R´ esoudre x
2 (1 − x
2 )y
+ x
3 y
− 2y = 0 en observant que y (1) (x) = x
2
est solution.
ººº¶
ÕÙÙØØÓÒ× ÖÖÒØØØÐÐÐ× ××ÙÙ× ÔÖÓÓÐ ÑÑ× ÚÖÖÖØØÓÒÒÒÐ×
Les probl` emes variationnels conduisent tr` es souvent ` a la r´ esolution d’´ equations
diff´ erentielles du second ordre. Avant de donner un exemple, nous allons r´ esoudre un
probl` eme variationnel g´ en´ eral dans une situation simple. On consid` ere un op´ erateur
fonctionnel (c’est-` a-dire une fonction dont la variable est une fonction)
ϕ : C
2 ([a, b]) → R
u → ϕ(u) =
b
a
F (x, u(x), u
(x))dx,
o` u F : [a, b] × R × R → R, (x, y, z) → F (x, y, z) est une application de classe C
2 .
Le probl` eme typique du calcul des variations est de rechercher les extrema de ϕ(u)
lorsque u d´ ecrit C
2 ([a, b]) avec la contrainte aux bornes suivante : les valeurs
aux bornes de l’intervalle u(a) = u 1 , u(b) = u 2 sont fix´ ees.
Soit h ∈ C
2 ([a, b]) avec h(a) = h(b) = 0. Pour tout t ∈ R, la fonction u + th v´ erifie
la mˆ eme contrainte aux bornes que la fonction u. Si u est un extremum de ϕ sous
les conditions pr´ ecis´ ees plus haut, alors t = 0 est un extremum de la fonction d’une
variable r´ eelle
ψ h (t) = ϕ(u + th) =
b
a
F (x, u(x) + th(x), u
(x) + th
(x))dx.
On doit donc avoir ψ
(0) = 0, et ceci quel que soit la fonction h ∈ C
2 ([a, b]) v´ erifiant
h(a) = h(b) = 0. D’apr` es le th´ eor` eme de d´ erivation sous le signe somme il vient
ψ
h (0) =
b
a
h(x)F
y (x, u, u
) + h
(x)F
z (x, u, u
)
dx.
En int´ egrant par parties le terme en h
(x) on obtient
ψ
h (0) =
b
a
h(x)
F
y (x, u, u
) −
d
dx
F
z (x, u, u
)
dx.
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
La fonction µ = λ
est donc solution d’une ´ equation diff´ erentielle lin´ eaire du premier
ordre, qui se peut se r´ ecrire
µ
µ
=
λ
λ = −2
y
(1)
y (1)
−
b(x)
a(x)
.
La solution g´ en´ erale est donn´ ee par µ = αµ (1) , α ∈ R, d’o` u λ = αλ (1) + β, β ∈ R,
o` u λ (1) est une primitive de µ (1) . La solution g´ en´ erale de (E) est donc :
y(x) = αλ (1) (x)y (1) (x) + βy (1) (x), (α, β) ∈ R
2 .
Les solutions forment un espace vectoriel de dimension 2.
Exercice – R´ esoudre x
2 (1 − x
2 )y
+ x
3 y
− 2y = 0 en observant que y (1) (x) = x
2
est solution.
ººº¶
ÕÙÙØØÓÒ× ÖÖÒØØØÐÐÐ× ××ÙÙ× ÔÖÓÓÐ ÑÑ× ÚÖÖÖØØÓÒÒÒÐ×
Les probl` emes variationnels conduisent tr` es souvent ` a la r´ esolution d’´ equations
diff´ erentielles du second ordre. Avant de donner un exemple, nous allons r´ esoudre un
probl` eme variationnel g´ en´ eral dans une situation simple. On consid` ere un op´ erateur
fonctionnel (c’est-` a-dire une fonction dont la variable est une fonction)
ϕ : C
2 ([a, b]) → R
u → ϕ(u) =
b
a
F (x, u(x), u
(x))dx,
o` u F : [a, b] × R × R → R, (x, y, z) → F (x, y, z) est une application de classe C
2 .
Le probl` eme typique du calcul des variations est de rechercher les extrema de ϕ(u)
lorsque u d´ ecrit C
2 ([a, b]) avec la contrainte aux bornes suivante : les valeurs
aux bornes de l’intervalle u(a) = u 1 , u(b) = u 2 sont fix´ ees.
Soit h ∈ C
2 ([a, b]) avec h(a) = h(b) = 0. Pour tout t ∈ R, la fonction u + th v´ erifie
la mˆ eme contrainte aux bornes que la fonction u. Si u est un extremum de ϕ sous
les conditions pr´ ecis´ ees plus haut, alors t = 0 est un extremum de la fonction d’une
variable r´ eelle
ψ h (t) = ϕ(u + th) =
b
a
F (x, u(x) + th(x), u
(x) + th
(x))dx.
On doit donc avoir ψ
(0) = 0, et ceci quel que soit la fonction h ∈ C
2 ([a, b]) v´ erifiant
h(a) = h(b) = 0. D’apr` es le th´ eor` eme de d´ erivation sous le signe somme il vient
ψ
h (0) =
b
a
h(x)F
y (x, u, u
) + h
(x)F
z (x, u, u
)
dx.
En int´ egrant par parties le terme en h
(x) on obtient
ψ
h (0) =
b
a
h(x)
F
y (x, u, u
) −
d
dx
F
z (x, u, u
)
dx.