VI – M´ ethodes de r´ esolution explicite
187
L’int´ egrale ne se calcule pas explicitement, sauf si λ =
2g
l , auquel cas
t − t 0 = ±
l
g
θ
0
dϕ
2 cos ϕ/2
= ±
l
g
ln tan
θ
4
+
π
4
,
et le pendule atteint la position verticale haute θ = ±π en un temps infini. Dans
les autres cas, les solutions maximales sont p´ eriodiques. Si λ < 2g/l, l’´ equation
diff´ erentielle implique cos θ ≥ −λl/2g > −1 et l’amplitude angulaire est donc
major´ ee en valeur absolue par une amplitude maximale θ m ∈ ]0, π[ telle que
cos θ m = −λl/2g ; dans ce cas le mouvement est oscillatoire autour de la position
d’´ equilibre θ = 0 (ceci correspond `
a la situation ´ etudi´ ee dans la remarque, avec une
fonction f (θ) = − sin θ strictement d´ ecroissante sur [−θ m , θ m ]). La demi-p´ eriode
est donn´ ee par
T
2
=
θm
−θm
dϕ
λ +
2g
l cos ϕ
= 2
θm
0
dϕ
λ +
2g
l cos ϕ
.
Si λ > 2g/l, on n’est plus dans la situation de la remarque, mais on a cependant
encore un mouvement p´ eriodique de demi-p´ eriode
T
2
=
π
0
dϕ
λ +
2g
l cos ϕ
,
le pendule effectuant des rotations compl` etes sans jamais changer de sens de
rotation.
En physique, on s’int´ eresse g´ en´ eralement aux oscillations de faible amplitude du
pendule. Ceci permet de faire l’approximation usuelle sin θ θ et on obtient
alors les solutions approch´ ees classiques θ = θ m cos ω(t − t 0 ) avec ω =
g/l. Nous
reviendrons sur cette question au paragraphe 2.4 du chapitre XI, et nous indiquerons
en particulier une m´ ethode permettant d’´ evaluer l’erreur commise.
º¿º
ÕÙÙØØÓÒ× ÐÐÒ ÖÖ× ÓÑÓÓ ÒÒ× Ù ×××ÓÒÒ ÓÖÖÖÖ
La th´ eorie g´ en´ erale des ´ equations et syst` emes diff´ erentiels lin´ eaires sera faite au
chapitre suivant. Indiquons un cas o` u l’on peut se ramener `
a un calcul de primitives.
Soit
(E)
a(x)y
+ b(x)y
+ c(x)y = 0.
Supposons qu’on connaisse une solution particuli` ere y (1) de (E). On peut alors
chercher la solution g´ en´ erale par la m´ ethode de variation des constantes :
y(x) = λ(x)y (1) (x).
Il vient
a(x)
λ
y (1) + 2λ
y
(1) + λy
(1)
+ b(x)
λ
y (1) + λy
(1)
+ c(x)λy (1) = 0,
λ
a(x)y
(1) + b(x)y
(1) + c(x)y (1)
+ λ
2a(x)y
(1) + b(x)y (1)
+ λ
a(x)y (1) = 0,
λ
2a(x)y
(1) + b(x)y (1)
+ λ
a(x)y (1) = 0.
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L’int´ egrale ne se calcule pas explicitement, sauf si λ =
2g
l , auquel cas
t − t 0 = ±
l
g
θ
0
dϕ
2 cos ϕ/2
= ±
l
g
ln tan
θ
4
+
π
4
,
et le pendule atteint la position verticale haute θ = ±π en un temps infini. Dans
les autres cas, les solutions maximales sont p´ eriodiques. Si λ < 2g/l, l’´ equation
diff´ erentielle implique cos θ ≥ −λl/2g > −1 et l’amplitude angulaire est donc
major´ ee en valeur absolue par une amplitude maximale θ m ∈ ]0, π[ telle que
cos θ m = −λl/2g ; dans ce cas le mouvement est oscillatoire autour de la position
d’´ equilibre θ = 0 (ceci correspond `
a la situation ´ etudi´ ee dans la remarque, avec une
fonction f (θ) = − sin θ strictement d´ ecroissante sur [−θ m , θ m ]). La demi-p´ eriode
est donn´ ee par
T
2
=
θm
−θm
dϕ
λ +
2g
l cos ϕ
= 2
θm
0
dϕ
λ +
2g
l cos ϕ
.
Si λ > 2g/l, on n’est plus dans la situation de la remarque, mais on a cependant
encore un mouvement p´ eriodique de demi-p´ eriode
T
2
=
π
0
dϕ
λ +
2g
l cos ϕ
,
le pendule effectuant des rotations compl` etes sans jamais changer de sens de
rotation.
En physique, on s’int´ eresse g´ en´ eralement aux oscillations de faible amplitude du
pendule. Ceci permet de faire l’approximation usuelle sin θ θ et on obtient
alors les solutions approch´ ees classiques θ = θ m cos ω(t − t 0 ) avec ω =
g/l. Nous
reviendrons sur cette question au paragraphe 2.4 du chapitre XI, et nous indiquerons
en particulier une m´ ethode permettant d’´ evaluer l’erreur commise.
º¿º
ÕÙÙØØÓÒ× ÐÐÒ ÖÖ× ÓÑÓÓ ÒÒ× Ù ×××ÓÒÒ ÓÖÖÖÖ
La th´ eorie g´ en´ erale des ´ equations et syst` emes diff´ erentiels lin´ eaires sera faite au
chapitre suivant. Indiquons un cas o` u l’on peut se ramener `
a un calcul de primitives.
Soit
(E)
a(x)y
+ b(x)y
+ c(x)y = 0.
Supposons qu’on connaisse une solution particuli` ere y (1) de (E). On peut alors
chercher la solution g´ en´ erale par la m´ ethode de variation des constantes :
y(x) = λ(x)y (1) (x).
Il vient
a(x)
λ
y (1) + 2λ
y
(1) + λy
(1)
+ b(x)
λ
y (1) + λy
(1)
+ c(x)λy (1) = 0,
λ
a(x)y
(1) + b(x)y
(1) + c(x)y (1)
+ λ
2a(x)y
(1) + b(x)y (1)
+ λ
a(x)y (1) = 0,
λ
2a(x)y
(1) + b(x)y (1)
+ λ
a(x)y (1) = 0.