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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
La relation
1
2 my
2
− ϕ(y) = E t montre que y
= 0 lorsque a < y < b (car on a
alors −ϕ(y) < E t ). Par continuit´ e, la fonction y
est donc de signe constant sur
tout intervalle de temps o` u a < y < b. La solution explicite donn´ ee plus haut
montre que y est alternativement croissant de a ` a b puis d´ ecroissant de b ` a a, avec
demi-p´ eriode
T
2
=
m/2
b
a
du
E t + ϕ(u)
,
et, en choisissant t 0 tel que y(t 0 ) = min y = a, on a les relations
t = t 0 +
m/2
y
a
du
E t + ϕ(u)
+ nT,
t ∈ [t 0 + nT, t 0 + nT + T/2],
t = t 0 −
m/2
y
a
du
E t + ϕ(u)
+ (n + 1)T, t ∈ [t 0 + nT + T/2, t 0 + (n + 1)T ].
On observera que l’int´ egrale donnant la p´ eriode T est convergente, car on a
ϕ
(a) = f (a) > 0, ϕ
(b) = f (b) < 0, de sorte que E t + ϕ(u) ∼ f (a)(u − a) au
voisinage de a, et de mˆ eme au voisinage de b.
Exemple – Mouvement d’un pendule simple de masse m suspendu `
a un fil de
longueur l.
l
θ
m
y
− →
T
− →
F
− →
F T
− →
P = m − → g
θ
On a ici y = lθ et F T = P sin θ = −mg sin θ, d’o` u
mlθ
= −mg sin θ,
θ
= −
g
l
sin θ.
L’´ energie totale est
E t = E c + E p =
1
2
my
2
− mgl cos θ =
1
2
ml
2 θ
2
− mgl cos θ.
Les solutions t → θ(t) v´ erifient
θ
2
−
2g
l
cos θ = λ =
2E t
ml 2 ,
λ∈ R,
±
θ
0
dϕ
λ +
2g
l cos ϕ
= t − t 0 ,
t 0 ∈ R.